Объединение эллипса и параболы в один род позволяет давать унифицированные доказательства. Например, известное свойство эллипса: лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от кривой собираются в другом фокусе, переносится и на параболу. Но здесь это уже дает новый нетривиальный результат: лучи света, выходящие из фокуса параболы, после отражения от кривой стремятся к другому фокусу, т.е.

«на бесконечность», что означает, что эти лучи будут параллельны («параболический прожектор») (Подробнее см.: Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII века. М., 1993. Гл. 3.). Решающим для возникновения новоевропейской науки фактом является изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Лейбниц внес существенный вклад в разработку этой новой математической области.

Но интересно, что обоснования инфинитезимальных построений Лейбниц искал именно через использование своих архитектонических принципов. Лейбниц, как человек достаточно искушенный в истории философии и логики ясно видел, что принимать окружность за бесконечноутольный многоугольник с бесконечно малыми сторонами значило нарушать классические положения аристотелевской логики, значило обрывать связь с традицией античной математики.

Умозаключать от конечного к бесконечному значило совершать μετάβασις είς άλλο γένος , процедуру, запрещенную традицией. Лейбниц не мог молчаливо пройти мимо этого факта. Предельный переход требовал своего обоснования. И это обоснование Лейбниц формулировал в терминах принципа непрерывности: «...

Хотя, строго говоря, и неверно, что покой есть род движения или что равенство есть род неравенства, равно как неверно и то, что круг есть род правильного многоугольника, но, тем не менее, можно сказать, что покой, равенство и круг заканчивают движения, неравенства и правильные многоугольники, которые переходят в них, исчезая в непрерывном изменении. И хотя эти концы исключены, т.е.

не принадлежат, строго говоря, к ограничиваемым ими многообразиям, они все же имеют свойства последних, как если бы они к ним принадлежали; так на языке бесконечных или бесконечно малых величин говорят, например, что круг есть правильный многоугольник с бесконечным числом сторон. В противном случае был бы нарушен закон непрерывности, т.е. поскольку от многоугольников переходят к кругу посредством непрерывного изменения и без скачка, постольку не должно быть скачка и в переходе от свойств многоугольников к свойству круга» (

Избранные страницы из математических сочинений Лейбница Состав. и перев. А. П. Юшкевич //Успехи математических наук. 1948. Т.III , Вып.1 (23). С.196). Лейбниц вводит в математику бесконечно малые величины и строит их исчисление. Но бесконечно малые величины никто никогда не видел и не может увидеть. Поэтому использование их всегда связано с постулированием некоторых новых положений, новых принципов.

Отчасти Лейбниц использовал принцип непрерывности, отчасти же другое положение, близкое к принципу непрерывности. В своей книге о философских началах новоевропейской математики я называю этот принцип принципом законопостоянства (см.: Катасонов В.Н. Цит. соч. Гл. II). В переписке с королевой Пруссии Софией — Шарлоттой это начало названо «главнейшим принципом природы»: «Принцип этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь. Иными словами, природа единообразна в том, что касается сути вещей, хотя и допускает разницу степеней большего и меньшего, а также степеней совершенства» (Лейбниц Г.В. Соч. Т. З.С. 389). С помощью принципа законопостоянства Лейбниц осуществляет сравнение конечного треугольника и бесконечномалого («характеристического») треугольника, используемого при построении касательной. Эти два треугольника, разделенные бесконечностью, оказываются одинаковыми по форме (подобными). Свойства вещей повсюду — включая и сферу бесконечномалого! — остаются такими же как «сейчас и здесь»... И опять принцип законопостоянства используется здесь как регулятивный, конструктивный принцип. Он позволяет перенести свойства конечных вещей в «бесконечноудаленную» сферу бесконечномалого (С другой стороны, инфинитезимальные построения находились в полной гармонии и с лейбницевской монадологией. См.: Катасонов В.Н. Цит. соч. Гл. II). Принцип законопостоянства определенным образом подчинен принципу достаточного основания. При всем своем многообразии вселенная едина. И ее фундаментальные принципы верны во всех ее областях одинаково, включая и бесконечномалые. Единство сотворенной вселенной не дает оснований для необозримо бесконечных различий. Лейбниц специально подчеркивал, что мировые закономерности являются отражением Логоса Божественного: «...Можно вообще сказать, что всякая непрерывность есть нечто идеальное и что в природе нет ничего, что обладало бы совершенно однородными частями. Но зато реальное полностью управляется идеальным и абстрактным и оказывается, что правила конечного сохраняют силу и в бесконечном, как если бы существовали атомы, хотя они вовсе не существуют... и, наоборот, правила бесконечного сохраняют силу в конечном, как если бы имелись метафизические бесконечномалые, хотя в них нет нужды и хотя деление материи никогда не приходит к бесконечно малым частицам. Это объясняется тем, что все управляется разумом и что иначе совсем не было бы ни науки, ни правила, а это не согласовалось бы с природой Высшего начала» (Избранные отрывки из математических сочинений Лейбница... С. 193). Геометрия бесконечномалых, т.е. дифференциальное и интегральное исчисление, имеют, по Лейбницу, очень высокий познавательный статус. В новой математике может быть более всего сказывается «гносеологическое богоуподобление» новой науки. Без лишнего пафоса, но вполне откровенно фиксирует Лейбниц в своих поздних работах, примыкающих к «Опытам теодицеи...