Речь идет здесь о так называемом в геометрии принципе двойственности. Смотря по двухили трехмерности обсуждаемого пространства, этот принцип двойственности формулируется различно; но суть дела в обоих случаях—одна и та же. Его можно далее сформулировать еще обобщеннее, применительно к топологическому рассмотрению пространства. Но и тут суть дела не изменится.

Изложим[94] же вкратце принцип двойственности в его последовательных расширениях. Геометрические образования даются в современной геометрии, как известно, не в виде наглядных образов, а логическими определениями, причем эти последние строятся не по Аристотелю, чрез ближайший род и видовую разность, а путем соотношений и связей некоторых исходных логических символов. Таким образом, наглядное различие геометрических образований нисколько не обеспечивает различия соответственных определений. А если так, то далее два тождественных определения или две тождественные системы определений во всем дальнейшем ходе геометрической мысли будут давать вполне тождественные выводы, хотя эти выводы и будут относиться к двум разнородным наглядным областям. Они будут звучать по–разному, будучи выражены различно, но будут тождественны в своем формально–логическом строении; это последнее обстоятельство выразится в тождестве логических формул, выражающих в знаках тот и другой род выводов. Коль скоро первоисходные соотношения тождественны, а формальные правила обращений с этими формулами, правила чисто логические, одни и те же, то, как бы далеко ни были проведены наши выводы, мы заранее уверены во всегдашнем и полном параллелизме обоих рядов. А раз так, —нам нет надобности дважды проделывать один и тот же труд и выводить порознь тот и другой ряд, гораздо проще развернуть какой‑нибудь один из рядов и затем заместить в нем исходные наглядные образцы и их основные соотношения соответствующими им — из другого ряда. То, что будет получено таким замещением, окажется правильным, в этом мы уверены заранее.

Вообще говоря, в каждой данной области можно ожидать несколько таких рядов; по крайней мере эти ряды будут появляться и возрастать численно по мере осложнения выводов и соответственных геометрических образований. Но в пространстве известны два таких ряда, восходящие к самым начаткам и первооснованиям геометрии.

XXXV

Эти два ряда коренятся в принципе двойственности. А именно, на плоскости прямая линия и точка, со стороны формальных соотношений, ведут себя вполне симметрично и вполне заменяют друг друга. Формально–логически это связано с арифметическим фактом, тождественным у точки и у прямой. Каждый из этих элементов, в единичном числе, точно устанавливается или дается двумя элементами другого рода. Две точки вполне определяют прямую линию, а две прямые вполне определяют точку. Кроме того, прямая есть геометрическое место бесчисленного множества лежащих на ней точек, а точка — геометрическое место бесчисленного множества проходящих чрез нее прямых. Каждая точка прямой может быть линейно выражена чрез какие‑нибудь две из них; точно так же каждая прямая пучка может быть выражена тоже линейно, чрез какие‑либо две прямые того же пучка.

Напротив, если так преобразуемое соотношение было ложно, то и после преобразования оно не может стать истинным.

Полученные таким образом формальные соотношения, или геометрия в знаках, есть в сущности дипломатический язык; будучи вполне истинным, он, однако, избегает ответственности за наглядную сторону дела и высказывает всякое положение надвое, равно угождая как принимающим точку за исходный элемент плоскости, а прямую за производный, так и их противникам, видящим изначальность в линии, а производность —в точке. По этому самому эта дипломатическая речь на обычный язык наглядных образов может быть в каждом ее высказывании переводима двояко, и притом совсем по–разному. И тот и другой перевод будут каждый вполне истинен, но между собою, как теорема о наглядных образах, не будут иметь ничего общего. Таким образом, каждая теорема может быть удвоена без малейшего труда, — нельзя же считать за труд механическую замену нескольких слов другими, согласно точно определенным требованиям. Попросту говоря, к формально–логическому построению геометрии должен быть еще приложен словарик в десятка полтора–два слов (из них особенно потребны слова первого десятка). Словарь этот располагается в три столбца: первый столбец содержит буквенные символы и знаки логистики, второй — соответствующие тем и другим понятия точечной геометрии, а третий —соответственные понятия геометрии линейной. Тогда любое высказывание на одном из трех языков может быть без труда переведено на оба других языка: формально–логическое соотношение знаков протолковано на языке наглядных точечных или наглядных линейных образований, а высказывание той или другой наглядной области превращено в соответственное высказывание другой области или же возведено к своей формально–логистической схеме.

Этот словарик, если оставить сейчас нас мало занимающий столбец языка логистического, построен примерно так:

Точечная геометрия Линейная геометрия точка прямая прямая точка лежит проходит соединяет пересекает проходит лежит пересекает соединяет трехугольник трехсторонник трехсторонник трехугольник вершина сторона сторона вершина

Чтобы пояснить примером, как именно делаются эти переводы, возьмем четыре точки.

Соединяя их всеми возможными способами, мы получим шесть прямых: четыре стороны и две диагонали четырехугольника. Если теперь провести прямую, соединяющую точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, то диагонали засекут на этой прямой две точки, и они, как доказывается, будут гармоническими в отношении точек пересечения сторон. Из этой теоремы нетрудно вывести и двойственно сопряженную. А именно: возьмем четыре прямые (вместо четырех точек) и все шесть точек их взаимного пересечения (вместо шести прямых их соединения). Соединим теперь прямыми (вместо: возьмем точки пересечения) противоположные вершины: они пересекутся в одной точке (вместо соединения точек одною прямою). Тогда две другие точки пересечения противоположных сторон вместе с этой точкой определят две прямых (вместо пересечения в двух точках). Эти две прямые вместе с прежними диагональными прямыми образуют пучок, и пучок этот будет гармоническим.

Или вот еще пример: две чрезвычайно важные теоремы, Паскаля и Брианшона[95], были открыты независимо друг от друга и приблизительно на расстоянии двухсот лет; между тем, простым словесным переводом каждая из них превращается в другую. Теорема Паскаля относится к шестиугольнику: если имеется шесть точек на плоскости, то, соединяя прямою каждую из смежных пар (а какие пары считать смежными —это зависит от нашего произвола), мы получим шесть сторон шестиугольника, — хотя он может ничуть не походить на то, что в элементарной геометрии называется этим именем. Рассмотрим теперь точки пересечения пар противоположных сторон, т. е. в условленном порядке вершин — разделенных одною вершиною. Таким образом найдутся три точки пересечения. Теорема Паскаля состоит в том, что они лежат на одной прямой. Станем теперь переводить все сказанное на язык геометрии линейной. Итак, берем шесть прямых (вместо шести точек) и условливаемся о порядке их последовательности. Затем пересекаем их в порядке их последовательности (вместо соединения) и находим шесть вершин (вместо шести сторон). Противоположные вершины (т. е. разделенные одною стороною) соединяем теперь (вместо: пересекаем стороны) прямыми; найдутся тогда три прямые (вместо трех точек). Теорема Брианшона состоит в том, что все три прямые проходят чрез одну точку (вместо: лежат на одной прямой). Подобных примеров, как указано выше, можно дать в буквальном смысле сколько угодно, ибо любая теорема точечной геометрии может подвергнуться такому переводу на язык геометрии линейной. Но и на данных двух примерах достаточно ясно, что речь идет здесь отнюдь не о какой‑то тавтологии и даже не о том превращении, которое дается обратными теоремами; принцип двойственности ведет к геометрической истине существенно новой, и устанавливаемое им свойство геометрических образов, как наглядно представляемых, не имеет ничего общего с тем исходным, из которого было первоначально получено. Не зная принципа двойственности, об этом новом свойстве никоим образом нельзя было бы догадаться, и нужно было бы открывать его совершенно заново, как это, например, и случилось с Брианшоном.

XXXVI

В трехмерном пространстве принцип двойственности оказывается уже иным. Тут один из способов понимания пространства есть подход к пространству как точечному, а двойственно сопряженный ему подход считает первоначальным элементом пространства — плоскость. Тогда в приведенном выше словаре слово «прямая линия» должно везде быть заменено словом «плоскость», а производная от «прямая» или «сторона» — соответственными производными от «плоскость» или «грань»; так, вместо «многосторонник» надо поставить в словаре «многогранник» и т. п. Что же касается до прямой линии, то она тут есть образование всегда вторичное и определяемое либо соединением двух точек, либо пересечением двух плоскостей.