3. Этот признак Лиувилля переработан Гельфондом (в указанной статье соответствующего заголовка) в необходимый и достаточный признак путем рассмотрения вместо нижней границы двучленов первой степени относительно данного числа нижней границы многочленов любой степени от него. Это, однако, не вносит ничего принципиально нового в наш анализ, хотя и действительно уточняет математическую теорию. Гельфонд оперирует здесь с т. н. высотой многочлена, которая, во–первых, растет вместе с номером соответствующего коэффициента, а во–вторых, берется в соответствующей степени, при стремлении того и другого в бесконечность. Следовательно, многомерность бесконечно становящегося инобытия соблюдена и здесь; прочее же все в философском отношении не существенно, так как различие между биномом и полиномом в философском отношении не может явиться принципом для новой теории.

4. Признак Лиувилля дает возможность без особого труда построить новые трансцедентные числа (путем разложения) и проверять трансцедентность уже известных. Так, если мы имеем 1 и потом будем брать последовательно отношения этой 1 к некоей растущей функции, возведенной в степень, показатель которой будет тоже некоей растущей функцией, то, беря предельные отношения, мы получим из суммы всех этих отношений не что иное, как трансцедентное число. Напр., число ω, при 1>0, будет трансцедентным числом, если мы его определим при помощи ряда:

ω = 1 + + +…+ + +…

Тут мы имеем данное число, I, и его отношение к его инобытию, т. е. к иному числу, . Далее это отношение вступает в двойное становление. Одно становление—это последовательное повышение степени:, , … Другое становление—это последовательное накопление предыдущих степеней: , , и т. д. Оба бесконечных становления даны в пределе.

§ 111а. Трансцедентное число (е, отношение синуса к дуге и π)«

1. а) Но отчетливее всего, проще всего, а самое главное, значитель· нее всего для всей математики строится знаменитая трансцедентность е, т. н. Неперово число, или основание натуральных логарифмов. Это, если угодно, совершенная идея и всякого предела. История философии дала бы нам немало аналогий, если бы мы стали прослеживать эту идею исторически. Тут прежде всего вспоминаются, конечно, софиологические учения античной философии. Учение об Уме в неоплатонизме, имманентно саморазвивающемся в Мировой Душе, есть учение об энергийно преисполненном Смысле, эманирующем свои смысловые потенции и объединяющем идеальную неподвижность Ума с реальной живой подвижностью сферы Души. Эта потенция, перешедшая в энергию, все еще вполне идеальна, но она как бы вобрала в себя все свои возможные судьбы в инобытии. Она не перешла реально в инобытие, но она идеально предвосхитила все свое возможное инобытие. Учение об идеале у немецких философов начала XIX в. относится сюда же. Это предел всех возможных взаимоотношений данной смысловой структур ры с окружающим ее инобытием. Тут в идее дана полная тождественность смысловой структуры с инобытием, так что эта структура перестает быть отвлеченным и пустым принципом и голой потенцией, но превращается в универсальную энергию, смысловым образом несущую на себе всю бытийственную тяжесть данной структуры. Прибегая к обычному диалектическому схематизму, нужно сказать так. Потенция—отвлеченный принцип. Он переходит в свое инобытие и воплощается в своем инобытии. Это заставляет его превратиться из голого принципа в некую телесную оформлснность. Переходя в инобытие, этот принцип там находит себя, т. с. осуществляется и воплощается в этом инобытии целиком и полностью. В результате—синтез потенции (или принципа) и ее потенциального же инобытия в энергии, причем все эти три момента действуют все еще в сфере чисто числовой.

b) Этот особого рода предел—не случаен и не выбран по капризу. Он—основная структура наполненного и конкретно явленного предела. Этот основной характер так сконструированного предела еще более делается важным и даже исходным для всякого учения о пределе вообще, если мы за числовую структуру, получающую энергийную перестройку, примем единицу. Такая единица, взятая сначала как потенциальная структура, а потом тут же перестроенная в энергийную структуру, является, можно сказать, прообразом всякого предела, переделывающим на свой манер всякую другую структуру, с которой он вступает в связь (как это мы увидим ниже, напр. в теории рядов).

2. а) Итак, мы берем сначала единицу как таковую, безотносительно к ее росту и безотносительно к ее энергийной обработке. Затем, поскольку мы задались целью взять также и отношение этой единицы ко всякому возможному инобытию, мы должны рассмотреть и это инобытие. Что такое инобытие? Всякое инобытие есть прежде всего становление. Кроме того, само по себе взятое, оно есть беспредельное становление, т. е. становящаяся бесконечность. Нужно взять отношение единицы к этой становящейся бесконечности, т. е. взять с условием, что η стремится к бесконечности. Итак, прибавивши к основной единице ее отношение ко всякому возможному инобытию, мы получаем 1 + .

Тут перед нами субстанция, утвержденность, положенность вместе со всеми возможными взаимоотношениями с окружающим ее безбрежным инобытием.

Но что это такое? Есть ли это то понимание законченного предела, о котором мы говорили выше? Нет, здесь мы получили только отношение единицы к инобытию и механическое присоединение его к самой единице. Тем не менее нами замыслена такая категория, чтобы единица не только содержала в себе свое отношение к инобытию, но чтобы она вместе с нарастанием этого отношения не оставалась одной и той же, замерзшей и оцепеневшей субстанцией, но чтобы она вновь и вновь воплощалась, пусть хотя бы в идеальном воплощении—по мере роста этого взаимоотношения с инобытием. Дуализм «вещи в себе» и «явления» будет преодолен не тогда, когда «вещь в себе» останется самой по себе, не затронутой никаким «явлением», а «явление» только внешне к нему присоединится. Дуализм исчезнет только тогда и «вещь в себе» только тогда действительно начнет излучать из себя живые бытийственные энергии, когда она, эта «вещь в себе», будет вовлечена в процесс реального становления, когда она вместе с нарастанием своего взаимоотношения с инобытием (поскольку инобытие есть становление) нарастает идеально и сама, переходя в подлинно бытийственный процесс соответствующего возрастания. В каждый новый момент нарастания своего взаимоотношения с инобытием единица воплощается и повторяется заново вместе с тем приростом, который был до сих пор.

Только при этом условии неявленная сущность и становится энергией и субстанция—эманацией. Математически это значит, что предыдущий двучлен бесконечно повторяет сам себя η раз, т. е. он должен быть возведен в п–ю степень, при условии, что это η по–прежнему продолжает увеличиваться до бесконечности. Это есть знаменитый предел, обозначенный в математике как е—основание натуральных логарифмов.

b) Короче говоря, в этой формуле—два положенных друг на друга становления: становление бесконечным того числа, с которым единица соотносится (весь натуральный ряд чисел), и становление бесконечной той степени, в которую эта единица вместе со своим инобытийным соотнесением возводится (тут опять натуральный ряд чисел). Стало быть, уже из одного этого видно, что е есть многомерная, т. е. выразительная, эманативная бесконечность, а это и есть признак трансцедентного числа.

3. Тут перед нами прекрасный образец того, каким методом пользуется математика для превращения философского построения в математическое. Этот метод—чисто числовой; и, как таковой, он оставляет без внимания все понятийное содержание философского построения и превращает его в числовую и количественную схему. Однако даже если оставить понятийное содержание без рассмотрения, оно все же вполне определенным образом отражается на числовой схеме и дает ее специфическую формальную структуру и фигурность. И вот эту–то специфическую фигурность числовой схемы, фигурность, выраженную численно, но имеющую не численное, а понятийное происхождение, философ и должен уметь анализировать, если он хочет философски понять математические основы бытия. Число являющееся основным в теории пределов, в своем философско–диалектическом раскрытии дает идеальную выявленность и сконструированность чисто идеальной потенции алогически становящейся единичности. Единица не берется в своем уединенном и тупом существовании, но—как выросшая до той степени, когда она вбирает в себя все свои возможные инобытийные судьбы и дает идеально–софийную воплощенность и субстанциальноэнергийную, эманативную само–преисполненность. Это тот предел, который является первопринципом единицы со всей ее жизнью и судьбой, как бы возросшей, разбухшей, расцветшей единицей, органически ставшей и созревшей, как живое тело, единицей. Это идеальный и энергийный прообраз всякого предела, ибо это предел идеально ставшей единицы.