b) Рассуждая таким образом, мы можем получить—в качестве результата эманации трансцедентного, — во–первых, опять все такое же трансцедентное число. Что это значит? Это значит, что из данной трансцедентности эманировало бытие, которое, ставши таковым (т. е. инобытием в отношении данной трансцедентности), само возымело в свою очередь трансцедентные особенности и само стало способным к порождению эманаций. Результатом эманации может быть, во–вторых, и алгебраическое число. Когда трансцедентное число возводится в трансцедентную степень, мы получаем алгебраическое число. Повидимому, тут происходит двойная эманация: с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая, инобытийная, а с другой— поскольку первоначальная трансцедентность возводилась в трансцедентную же степень, то данной эманации хватило не только на продуцирование новой трансцедентности, но и на дальнейшее продуцирование еще алгебраического числа из этой новой трансцедентности. Наконец, результатом эманации может быть и комплексное число. Здесь мы, кажется, тоже имеем дело с двойной эманацией, когда эманированный продукт не только есть инобытие, трансцедентное или алгебраическое, но это инобытие еще и приняло новую форму, именно комплексную.

Итак, та или иная степень трансцедентного числа е есть не что иное, как тот или иной результат эманации числовой трансцедентности.

Изучим некоторые явления из этой области.

3. а) Число е, возведенное в вещественную степень и легко представляемое в виде бесконечного ряда типа Маклорена, для нас менее интересно. Гораздо интереснее здесь мнимые степени. Возводя трансцедентное число в мнимую степень, мы не получаем никакой несуразности и никакого бесполезного нагромождения схоластических терминов, как это всегда кажется неискушенным в диалектике мыслителям. Тут на помощь приходит сама математика, давая замечательные построения в виде Эйлерового представления тригонометрических функций с ίίόмощью мнимых степеней е. Схоластика оборачивается рядом самых обыкновенных и даже самых элементарных математических построений.

b) Именно, если мы возьмем exi, разложим его в ряд, отделим вещественные и мнимые члены, то вещественная часть окажется не чем иным, как разложением cosx, а коэффициент при мнимой части—не чем иным, как разложением sin*; и мы, таким образом, получаем:

exi=cos x + I sin x.

Уже это одно замечательное построение способно вызвать у философствующего некоторый восторг ума. В самом деле, ведь мы же только возводили е в мнимую степень. Откуда же это вдруг всплыли тригонометрические функции?

Прежде всего формулируем, что такое мнимая степень трансцедентности, — независимо ни от каких формул Эйлера.

Мы уже знаем (§ 111а), что степень указывает на органический рост возводимого в степень. Стало быть, трансцедентное должно органически расти и самовоспроизводиться. В какую же сторону оно должно расти? Об этом говорит мнимый показатель степени. Но что такое мнимость? Мнимость есть чисто смысловое оформление вещи (§ 104). Значит, трансцедентность должна расти в сторону своего чисто смыслового оформления; трансцедснтнос испускает из себя эманацию чисто смыслового оформления и воспроизводит себя в нем, как бы покрывает себя прочной броней оформления, облекается в некое внешнее одеяние, облекается выразительным и твердо ощутимым телом. Выразительнотелесная форма как результат эманации трансцедентного—вот что такое мнимая степень трансцедентного.

Что же теперь дает тут математика?

с) Аналитический вывод связи тригонометрических функций с мнимой степенью е указан выше, и он не только внешне элементарен, но он в такой же степени и загадочен и требует какого–нибудь осмысленного уразумения. Нужно сознаться, что математическая схоластика и формализм в данном вопросе особенно постарались сделать свой предмет непонятным, в результате чего формулы Эйлера, можно сказать, просто никто из математиков не понимает, хотя вывести их доступно школьнику.

Попробуем представить себе мнимую степень е геометрически (Клиффорд). Для этого представим себе, что радиус круга ОР равный единице, своим вращением образует угол QOP, величина которого очень мала. Так как дуга QP–OP· LQOP, а ОP по условию, равно единице, то длина QP, возникшая в результате вращения радиуса ОР есть не что иное, как просто числовая величина угла QOP. Здесь, однако, мы должны вспомнить то, что мы вывели из гауссовского представления мнимых величин (§ 106). Именно, эту величину QP мы можем представить не прямо как таковую, а с точки зрения радиуса OP, т. е. мы будем считать, что в результате своего вращения радиус ОΡ не только поворачивается на определенный угол, но еще и получает некоторое приращение QP, растягивается на величину QP. Поскольку угол QOP очень мал, мы можем QP считать перпендикуляром к ОР и тогда, по Гауссу, это QP окажется мнимой величиной. Итак, QP— LQOP· L А принимая угол QOP тоже за единицу, мы можем сказать: если радиус круга, равный единице, поворачивается на угол, тоже равный единице, то он испытывает растяжение на √-1, что и является длиной образуемой здесь дуги данной окружности. И если угол у нас есть х, то растяжение, очевидно, равняется χ √-1. Но какое же имеет сюда отношение e?

Известно, что когда одна величина равномерно помножается при одинаковых приростах другой, то говорят, что она вырастает логарифмически. Если взять отношение прироста первой величины при увеличении второй на единицу к самой величине, то по этому отношению можно судить о размерах логарифмического возрастания. Когда мы постепенно увеличиваем угол χ и соответственно получаем увеличение радиуса xi, то ясно, что xi растет здесь логарифмически. То же находим мы в т. н. логарифмической спирали. Изучение логарифмической спирали как раз и дает нам искомое решение вопроса.

Оказывается, что если мы станем искать в логарифмической спирали результат поворота луча–единицы на угол–единицу, то при логарифмической скорости возрастания этого луча–единицы (равной котангенсу углов, по которым логарифмическая спираль называется также равномерной) результат этот будет как раз ех, где χ—число угловых единиц поворота, есть то, во что превращается начальный луч, равный единице, когда мы, вращая его на угол, равный χ угловым единицам, получаем в результате этих вращений постепенное его логарифмическое возрастание, рисующее нам структуру логарифмической спирали. Следовательно, е1 есть тоже результат поворота нашего радиуса OA на i угловых единиц, потому что быстрота логарифмического возрастания ОР, отнесенная к угловой единице, есть i. Результат же поворота на угол равен, очевидно, exi.