На основании теоремы Лагранжа о том, что порядок любой подгруппы есть делитель порядка группы, определяют структуру низших групп. Так, нетрудно найти, что групп четвертого порядка—две. Поскольку 5 и 7—простые числа (а известно, что группа, порядок которой есть простое число, может быть только циклической), то для порядков 5 и 7 получается только один тип, циклическая группа. Для группы 6–го порядка возможны: 1) циклическая группа, образованная одним элементом 6–го порядка; 2) если же она не циклическая, то ее элементы могут быть 2–го или 3–го порядка, причем все не могут быть 2–го порядка. И т. д.

b) Несколько другой план структуры группы составляют т. н. сопряжения. Если в данной группе А, В, С являются элементами и В=С~1АС, то говорят, что В сопряжено с А, а сама эта операция получения Вт А называется преобразованием элемента А посредством элемента С. Всматриваясь в это понятие сопряжения, мы замечаем, что последнее есть полная аналогия равенству или, если угодно, подобию.

Но только это равенство или подобие нужно понимать,, так сказать, «групповым» способом. Отсюда сопряжения соответствуют не просто структуре группы в ее бытии, но структуре группы в ее становлении, ибо фигура должна быть погружена в становление, чтобы превращаться в другую фигуру, подобную ей. Сопряжениями бывают не только элементы, но и комплексы. Если какую–нибудь подгруппу данной группы будем преобразовывать всеми элементами группы, то мы получим подгруппы, сопряженные с данной подгруппой. Эти подгруппы, конечно, могут частично совпадать и одна с другой, и с первоначальной подгруппой. Ничто не помешает выбрать из них различные.

c) Отношение А->С–1АС называется также автоморфизмом, а именно внутренним автоморфизмом. След., внутренний автоморфизм мы получаем, в случае когда мы из данного элемента получаем его же самого, но с преобразованием при помощи другого элемента. Прочие автоморфизмы (если они существуют для данного элемента) называются внешними. Автоморфизм—это просто взаимно однозначное соответствие группы с самой собою. Это понятие совсем не так излишне, как это могло бы показаться с первого раза. Пусть, напр., мы имеем группу отражений, или переносов, геометрической фигуры, обусловливающую собою явление симметрии. Если бы здесь фигура не переходила в себя саму, то не было бы и самой группы ее отражений, или переносов. Тут же видно и то, что понятие автоморфизма (как и понятие сопряжения) предполагает становление структуры группы, так как без собственного перехода в инобытие группа не могла бы стать и автоморфной.

Соответственно–взаимная однозначность двух разных групп называется изоморфизмом или, точнее, однозначным, одноступенным изоморфизмом. Многозначный изоморфизм или тот, который охватывает все соотношения между элементами как в одной, так и в другой группе, но не предполагает взаимной однозначности, называется гомоморфизмом. Здесь каждому элементу одной группы соответствует один элемент другой группы, но одному элементу этой другой может соответствовать несколько элементов первой группы. Теоремы, связанные с фактами изоморфизма и гомоморфизма, явно предполагают инобытие группы в виде другой группы и их определенное структурное взаимоотношение (в частности, при изоморфизме—тождество).

d) Уже эта структурность становящихся групп есть нечто ставшее. Более заметно это на тех подгруппах, которые остаются неизменными в процессе, где становление группы яснее всего, т. е. оказываются неизменными относительно всех внутренних автоморфизмов группы.

Пусть мы имеем случай, когда все решительно подгруппы, сопряженные с первоначальной, совпадают с нею. Это будет значить, что наша подгруппа коммутирует со всяким элементом группы. Вместо любого элемента группы можно будет брать эту подгруппу во всех групповых операциях. Это далеко еще не значит, что каждый элемент этой подгруппы коммутирует с каждым элементом группы. Такую подгруппу называют инвариантной или нормальным делителем группы. Другими словами, нормальный делитель и есть подгруппа, инвариантная при всех внутренних автоморфизмах. И ясно, что здесь мы получаем указание на структуру группы как на нечто ставшее, так как сопряжение нашей исходной подгруппы с элементами группы пришло здесь к определенному результату. Тут мы реально подходим к тому наличному бытию групповой структуры, с которым столкнулись выше, в п. 4а. Нетрудно сообразить, что в Абелевых группах все подгруппы инвариантны. В группе всех подстановок трех знаков имеется один нормальный делитель: 1, (1, 2, 3), (1, 3, 2). Группа всех подстановок четырех знаков имеет нормальный делитель 12–го порядка и один 4–го. В каждой группе все элементы можно распределить на ряд классов без общих элементов так, что элементы одного класса сопряжены между собою, а элементы различных классов не сопряжены. Эти классы называются классами сопряженных элементов. Существует ряд интересных и простых теорем о нормальных делителях, которых мы здесь не будем касаться.

е) Наконец, выразительной стороной групповой структуры может явиться т. н. композиционный ряд. Назовем максимальной инвариантной подгруппой группы такую, что в последней не существует другая инвариантная подгруппа, которая бы содержала первую. Максимальных инвариантных подгрупп может быть несколько и—разных порядков. Так, циклическая группа 6–го порядка имеет максимальные инвариантные подгруппы 2–го и 3–го порядков. Можно всю группу расщеплять так, что получится ряд максимальных инвариантных групп, входящих одна в другую. Это и называется композиционным рядом. Таких рядов в группе может быть несколько. По теореме Жордана—Гёльдера, два композиционных ряда одной и той же группы всегда изоморфны.

Все эти указываемые нами моменты структуры группы являются беглыми и примитивными, играющими роль скорее образцов для диалектического ее исследования. Большая подробность невозможна в нашем сочинении, а потому нам надлежит обратиться к одной области, где выразительная природа группы явлена с наибольшей силой.

§ 125. Геометрия чисел, или теория групп как учение о наивысшей арифметической выразительности.

1. Уже давно было замечено, что художественные формы часто подчиняются удивительно закономерным правилам, достигающим прямо геометрической и вообще математической точности. Изучение мировой орнаментики в особенности дает в этом отношении интересный материал, который, между прочим, часто поддается расшифрованию только при помощи теории групп. Групповая структура, оказывается, бессознательно выполнялась еще древними художниками в симметриях орнамента, равно как они в точнейшем виде выполняются и в природе, напр. в формах кристаллов. Коснемся некоторых явлений в этих областях, чтобы наглядно убедиться в выразительной природе числовой группы вообще [918].

a) Под плоской точечной решеткой понимается результат [отображения] двух векторов: pi и р2 (не на одной прямой), откладывающих χ ι и х2 раз (х1х2=0, ±1, ±2, …) одно и то же единичное расстояние χιρι+χ2ρ2. Точечная решетка есть точки с целочисленными координатами в той или иной прямолинейной системе координат. Или, наоборот, для всякой решетки точек можно конструировать такую систему координат, для которой р1и р2 являются единичными векторами обеих осей. Конгруэнтное отображение точечной решетки на саму себя называется ее симметрией. Ее можно установить или при помощи вращения всей плоскости вокруг той или иной точки, или при помощи зеркального отображения относительно данной оси симметрии. Все эти движения точечной решетки образуют группу. Спрашивается: какова же структура этой группы?

b) Остановимся на группе вращений. С самого начала ясно, что всякая точечная решетка допускает относительно любой своей точки вращение на 180° в условиях совпадения всей решетки с самой собою, так как всякая прямая в результате такого вращения совпадает сама с собою. Но отсюда следует, что группы вращения могут быть в нашем случае только четного порядка. Так, возьмем группу 4–го порядка, т. е. будем вращать нашу решетку вокруг некоторой точки 0 на углы по 90°. Мы убеждаемся, что если при вращении на 180° любая решетка совпадает с самой собой, то при вращении на 90° совпадает с самой собой только квадратная решетка. Легко заметить также, что существует одна решетка, совпадающая сама [с] собою при вращении на 60°, т. е. при вращении 6–го порядка. Это та, которая состоит из ряда равносторонних треугольников, или гексагональная. Меньше чем на 60° не допускает вращения ни одна решетка, совпадающая с собою, потому что стороны образующегося при соединении ближайших от центра точек многоугольника оказались бы меньше единичного расстояния в решетке и, след., вся точечная система нарушается.

Итак, группа вращений решетки, совпадающей с самой собой, может быть 2, 4 и 6–го порядков, и только этих порядков, причем в первом случае решетка может быть любой формы, т. е. прямоугольной и параллелограммной, во втором—она обязательно квадратная и в третьем—обязательно гексагональная.