Страница 172 из 233
170
«Конечно, серьезная непоследовательность проявилась в том, что в Новое время все естественнонаучные и, очевидно, устаревшие взгляды Св. Фомы Аквинского старались использовать с педантичной тщательностью, в то время как отступились от него в таком важном спекулятивном вопросе, как вечность мира… Непоследовательность наблюдается также и в том, что в Познании [самого] Бога допускается актуальное бесконечное множество возможных вещей, сама возможность которого отрицается. Выходят здесь из положения тем, что говорят: не нужно переносить способ Божественного Познания на человеческое — совершенно верно, но не в этом дело: если актуальное бесконечное множество противоречиво в себе, то оно не может быть и в Уме Бога ничем иным, как абсурдом, чем то вроде четы реху голь нот круга» (нем.). — 85.
171
См.: Кантор Г. Труды… С. 264—268, 292. Заметим, что соответствующее математическое понятие не существует. — 85.
172
в Боге или творящем начале (лат.). — 85.
173
Весь этот кусок статьи П. А. Флоренского есть пересказ работы Г. Кантора «О различных точках зрения на актуально бесконечное» (Кантор Г. Труды… С. 262—268). — 86.
174
в конкретном (лат.). — 86.
175
в сотворенной природе (лат.). Кантор (Труды… С. 287) указывает, что он употребляет термины «natura naturaus» и «natura naturata» в том же значении, что и томисты, так что первый означает Бога как Творца созданных Им из ничего субстанций, стоящего вне их и сохраняющего их, второй же — сотворенный Им мир. — 86.
176
абстрактным образом (лат.). — 86.
177
в Боге (лат.). —87.
178
Эту классификацию всех мыслимых систем по их отношению к понятию бесконечности можно иллюстрировать различными схемами, среди которых наиболее удобной мне представляется такая:
Возьмем вписанный в окружность правильный шестиугольник со всеми его диагоналями. Пусть три диагонали, проходящие через центр, схематически обозначают те три направления в бытии, в которых бесконечность может быть утверждаема или отри- ь цаема. Диаметрально противоположные концы этих диагоналей пусть обозначают утверждение (+) бесконечности данном отношении (Dcus, Spiritus, Natura) или ее отрицание (-). Тогда всякий треугольник, вершинами которого служат какие‑нибудь три вершины шестиугольника, обозначенные буквами D, Ѕ, N с тем или другим знаком, схематически представит некоторую систему мировоззрения. Число всех систем равно числу треугольников; но часть последних уже a priori, до всякого исследования соответствующих систем может быть исключена. В самом деле, треугольники, имеющие стороною диаметр, изобразят системы, одновременно утверждающие и отрицающие бесконечность в одном и том же отношении.
179
Бог, Дух, Природа (лат.). —87.
180
Ориген (ок. 185 — ок. 254) — греческий богослов и философ, представитель доникейской патристики. — 87.
181
Кантор Г. Труды… С. 290. —87.
182
Августин Аврелий (354—430) — христианский богослов и мыслитель, один из отцов церкви. — 87.
183
конечный (лат.). — 88.
184
цель, предел, завершенность (греч.). — 88.
185
о пределах добра, о пределах совершенства (лат.). — 88.
186
Приводимые слова принадлежат не самому Оригену, а представляют собой изложение его идей, содержащееся в «Теологической сумме» Фомы Аквинского (Thomas Aquinas. Opera omnia. Editio nova. Parisiis: Yives, 1895. V. 1. P. 48). Приводим русский перевод по: Кантор Г. Труды… С. 416. «Всякое существующее в природе множество сотворено; всякая же сотворенная вещь понимается как одно из проявлений какого то намерения Творца, ибо Создатель ничего не делает бесцельно. Следовательно, необходимо, чтобы б; якая созданная вещь понималась как число. Поэтому существование актуального множества невозможно даже по «совпадению»». — 88.
187
предвосхищение основания (лат.); логическая ошибка, заключающаяся в том, что в доказательстве в неявном виде используется доказуемое предложение. — 88.
188
Ср.: Кантор Г. Труды… С. 291. — 88.
189
созданная природа (лат.). —88.
190
См.: Кантор Г. Труды… С. 292. — 88.
191
Речь идет о «бесконечных числах» Фонтенеля, приведенных в его книге «Infini geometrique» (Paris, 1727). См.: Кантор Г. Труды… С. 408. — 80.
192
См.: кн. С. Н. Трубецкой. «Метафизика в Древней Греции», [М., 1890], стр. 190 и след.
193
Малые восприятия (лат.). Это понятие было введено в психологию Лейбницем, создавшим на его основе учение о бессознательном. Лейбниц рассматривал малые, или смутные, восприятия как психологический аналог бесконечно малых из анализа (см.: ИМИ-30. С. 169. Прим. 3). — 90.
194
См.: Гоголь Я. В. Собр. соч. Т. 5. М., 1978. С. 32. — 90.
195
Ликтор Викторович Бобынин (1849—1919)—русский историк математики. Здесь и далее имеются в виду его «Лекции истории математики. Донаучный период»//Физико–математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 9— 10. М., 1890—1893. — 90.
196
В ряде языков такие формы существуют. См.: Гумбольдт В. О двойственном числе//Гумбольдт В. Язык и философия культуры. М., 1985. С. 395 и Cassirer Е. The Philosophy of Symbolic Forms. V. I. Language. New Haven, 1980. Ch. 3. § 3. P. 237, 246. — 91.
197
Быт 22, 17. — 91.
198
См.: Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 25 (см. прим. 51). Современные взгляды на происхождение счета и чисел см.: Башмакова И. ГЮткевич А. П. Происхождение систем счисле- ния//Энциклопедия элементарной математики. Т. 1. М.; Л., 1951. С. 11—74; Menninger К. Zahlwort und Ziffer. Bd 1—2. Gottingen, 1957—1958. Философский анализ см.: Cassirer Е. Цит. соч. и Вейль Г О символизме в математике и математической логикt//Вейль Г. Математическое мышление. М., 1890. С. 55—69. — 91.
199
См. у Бобынина («‹І›из. — мат. науки», тт. IX, X; «Исследования по истории математики»).
200
Здесь опечатка, следует: Физико–математические науки в их настоящем и прошедшем. Т. 2. Отдел научных статей. № 3. 1887. С. 205. — 92.
201
Альсид ДОрбипьи (1802—1857)—французский путешественник и палеонтолог, исследователь Южной Америки. — 92.
202
Чикитосы умеют считать только до единицы (тома), имея для дальнейшего только отношения сравнения (франц.) {D'Orbigny А. L’homme americain. V. 2. Paris, 1839. P. 163). — 92.
203
Карл Фридрих Марциус (1798—1868) и Иоганн Баптист Спике — немецкие путешественники. См.: Martius К. Г., Spix J. В. Reise ill Brasitien. Munchen, 1823. Bd 1. S. 387. —92.
204
Генрих Лихтенштейн (1780—1857) —немецкий путешественник и зоолог. См.: Lichtenstein 11. Reisen in sudlichen Africa in den Jahren 1803, 1804, 1805 und 1806. Bd 2. 1812. S. 610. — 92.
205
Эдуар Тэйлор (1832—1917) —английский этнограф, автор «Первобытной культуры» (1871), глава «Искусство счисления» которой посвящена числам и счету. — 92.
206
что и требовалось доказать (лат.). — 93.
207
Вероятно, описка: вместо Фенелон следует читать Фонтенель. Франсуа Муаньо (1804—1884) —французский математик и теолог, последователь О. Коши. Упоминаемое доказательство содержится в его работе «Impossibility du nombre actuellement infini; la science dans ses rapports avec la foi». Paris: Gauthier Villars, 1884. См.: Муаньо Ф. О невозможности в действительности бесконечно большого числа. Древность человеческого рода. Наука в соотношении с верой//Коши О. Л. Семь лекций общей физики… СПб., 1872. С. 59—82. Гиацинт Зигмунд Гердиль (правильнее — Жердиль) (1718—1802)—философ, теолог. Речь идет о его работах: Gerdil С. S. Essai d’une demonstration mathematique contre I’existence cternelle de la matiere et du mouvement infini…//Opere edite et inedite. Rome, 1806. V. 4. P. 261; M<5moire de Pinfini absolu consid<5r£ dans la grandeur//ibid., 1807. V. 5. P. 1. — 93.
208
Степан Петрович Крашенинников (1711 —1755) — русский путешественник, исследователь Камчатки, автор известного труда «Описание земли Камчатки» (1756; современное издание: М.; Л., 1949). — 93.
209
Бобынин В. В. Лекции истории математики. С. 34 (см. прим. 51). — 93.
210
В. В. Бобынин. «Очерки истории развития физико–математических знаний η России». «Очерк третий» (Физико–математичес. науки в их наст, и прошл. Т. I. [Отд. I.] № 3. 1885, р. 227–229).
211
Древнеиндийским сборник законов и предписаний, следующих догматам брахманизма. См.: Законы Ману. М., 1960. — 95.
212
Здесь и гораздо подробнее ниже, в конце статьи, П. А. Флоренский касается вопроса о связи национального характера и типа мышления. Вопрос этот интересовал многих в XIX и в начале XX в., среди прочих в Германии — Ф. Клейна (см. его «Лекции о развитии математики в XIX столетии». М., 1889), О. Шпенглера и др.; в России — В. С. Соловьёва, Н. Я. Данилевского. — 95.