Страница 19 из 233
«Гипотеза непрерывности пространства, — говорит Кантор, — есть, следовательно, не более, как предположение, само по себе произвольное, о полном однозначном и взаимном соответствии между чисто арифметическим континуумом трех измерений (х, у, г) и пространством, которое служит основанием мира явлений. Мы легко можем сделать мыслью абстракцию от изолированных точек в пространстве, даже когда они густы в каждом протяжении, и примкнуть к понятию прерывного пространства А трех измерений при условиях, описанных выше (в теореме). Что же касается до представляющегося тогда вопроса, именно решить, можно ли также вообразить непрерывное движение в так прерывных пространствах, то нужно, по предыдущему, ответить на него утвердительным и абсолютным образом… Итак, мы приходим к замечательному выводу, что никак нельзя заключать непосредственно из одного факта непрерывного движения к общей непрерывности пространства трех измерений (или двух), к такой непрерывности, какой мы ее представляем себе, чтобы объяснить явления движения»[127].
V
Все это приводит нас к необходимости перебрать тот архив, где записаны наши наблюдения над фактами, и посмотреть, не попало ли туда фальшивых документов и не сделались ли другие негодными за давностью. Ведь на данных этого архива построено все «современное» миросозерцание нашей европейской цивилизации! Напомним здесь, что вся деятельность ныне уже покойного Н. В. Бугаева[128] была призывом к такому пересмотру. На своих лекциях и в своих статьях этот профессор упорно указывал нам на значение прерывности как элемента мировоззрения. До последнего времени на идеи Бугаева не обращали внимания, но смерть прервала его работу как раз в то время, когда сходные, аналогичные с его идеи стали пробиваться из‑под камней в разных закоулках жизни. Пока эти идеи еще бледны и не развернулись, так что можно при желании не замечать, игнорировать их. Но стоит только вспомнить «теорию мутаций» Фриза[129], «гетерогенезис» Коржинского[130] факты их подтверждающие в биологии, работы Таманна[131] по термодинамике и молекулярной физике, быстро накопляющийся материал по психофизике, изучение психологией сублиминального[132] сознания и творчества (Дюпрель, Майерс, де Роша, Барадюк)[133] и т. д. и т. д., чтобы понять, что новое со всех сторон врывается в науку.
Мы, видевшие зарю «нового искусства», стоим на пороге и «новой науки». И только, когда она будет создана, мы сможем достаточно оценить деятельность провидцев — Георга Кантора и Николая Бугаева.
О символах бесконечности (Очерк идей Г. Кантора[134])
Но Нафанаил сказал ему: из Назарета может ли быть что доброе? Филипп говорит ему: пойди и посмотри. Иисус, увидев идущего к Нему Нафанаила, говорит о нем: вот подлинно Израильтянин, в котором нет лукавства (Ин 1, 46—47)[135]
I
Бесконечный, бесконечный приходится слышать очень часто в обыкновенном разговоре; но стоит только попросить объяснения этих слов, чтобы встретить недоумевающий взгляд. Однако если в широкой публике только непонимание, то среди людей, занимающихся умственной работой, на этот счет часто бывает извращенность в понимании и даже полная путаница. Очень сильные и тонкие умы часто не бывали свободны от неясностей и недоговорок в вопросе о понятии бесконечности. Недостаток места не позволяет, к сожалению, привести ряд поучительных примеров, но читатель из дальнейшего изложения и сам сообразит, на кого тут можно было бы сослаться.
Впрочем, затруднения лишь отчасти и даже в очень незначительной части зависят от отвлеченности вопроса; главная причина тут–в тенденциозности мышления, в нежелании или неумении смотреть на объект исследования прямо. Приступается к изучаемому с уверенностью, что уже известно; «но знание надмевает, а любовь назидает»[136], и мнимое знание — horror infiniti[137], царящий, по словам Кантора, в обществе, дает себя знать.
Главные ошибки, которые делаются сплошь и рядом в рассуждениях о бесконечном, появляются вследствие пренебрежения основной и совершенно элементарной дистинкцией актуальной и потенциальной бесконечности. Поэтому мне придется подробнее, чем хотелось бы, остановиться на этом подразделении. Пока, впрочем, будет дано предварительное определение бесконечности; на нем мы основываться не станем, так как оно не упирается на достаточно простые понятия, хотя само по себе и верно.
Всякий quantum[138], по самому своему определению, может быть двояким. Он может быть данным и неизменно и твердо установленным, вполне определенным и тогда представит из себя то, что носит название постоянного или константы. Он может также не быть определенным, может меняться, становясь больше или меньше. В этом последнем случае quantum носит название переменного. Так вот, актуальная бесконечность есть частный случай постоянного, а потенциальная — переменного quantum’a, и в этом их глубочайшее принципиальное различие, если угодно, их существенная противоположность. Разъясним это ближе.
Пусть у нас есть переменное, и пусть оно меняется не каким‑нибудь, а определенным способом, так именно, чтобы оно становилось больше всякого постоянного quantum’a (конечного) того же рода, или меньше. В каждом состоянии это переменное конечно; но в нашем понимании совокупность этих состояний отличается от совокупности каких‑либо произвольно подобранных состояний. В этом смысле мы говорим, что наш quantum есть потенциальная бесконечность, потенциальная — ввиду того что он может стать более всякого другого quantum’a. Таким образом, потенциальная бесконечность не обозначает какого‑либо quantum’a, в себе взятого, а только особый способ рассмотрения quantum’a именно, в связи с характером его специального изменения. Потенциальная бесконечность, по словам Кантора, не есть идея, а только вспомогательное понятие;? оно — ens rationis[139], по счастливому выражению Stoсkl'я[140]. Одним словом, потенциальная бесконечность есть то самое, что древние называли аяссроі[141] схоластики — syncategorematice infinitum[142] или indefinitum[143], новые философы — дурной бесконечностью. Типичным образцом ее представляется, конечно, время, вечно текущее, все собою затопляющее; а лучшие образы–муки Тантала, бочка Данаид и прэты — адские существа у буддистов[144].
Это — «вечно голодные чудовища, с толстою головою, свирепым взглядом и огромным желудком, который никогда не наполняется, с сухими, как у скелета, членами — нагие, обросшие волосами, с усами и ртом — тонким, как игольное ушко. Они вечно голодны и вечно жаждут. Едва один раз в сто тысяч лет они слышат слово «вода» и, когда находят ее, то она обращается перед ними в нечистоту. Некоторые из них пожирают искры огня, другие — трупы, или собственное тело, но не могут насытиться вследствие узкого устройства своего рта. Кажется, в лице этих жалких существ фантазия буддистов хотела воплотить понятие о той жажде бытия, которая ведет к страсти и служит причиною и самых перерождений, — этого зла жизни. Вечная жажда бытия никогда не удовлетворяется»[145].
Итак, это никогда не заканчиваемое потенциальное бесконечное есть переме/тое конечное количество, quantum, возростающий над всеми границами, или, наоборот, падающий ниже всякой конечной границы. Таковы, например, дифференциалы, охарактеризованные уже Лейбницем именно за это свойство, как чистые фикции. Ввиду этого ясно, что говорить о законченной потенциальной бесконечности, что, по словам Кантора, делал Fontenelle[146], есть contradictio in terminis[147].
К несчастию, бесчисленное множество, — легион, — авторитетов всех специальностей усвоило себе эту простую истину чересчур крепко и, забыв о слове потенциальная, начало разными голосами заявлять, что «законченная бесконечность» есть нечто нелепое. Отсюда вытекает старинный афоризм «numcrus infinitus rcpugnat»[148], отсюда же утверждение Tongiorgi[149] «multitudo actu infinita repugnat»[150] и другие подобные. Этот вполне невинный, по–видимому, пропуск породил не одну грубую ошибку, и на ней, между прочим, держатся и первые «антиномии чистого разума» у Канта.[151] На этом же пропуске, как увидим, основаны так называемые аргументы против законченной бесконечности и многие соображения позитивизма.