Страница 24 из 233
Если определять общий термин «группа» представляется излишним, то совсем не так обстоит дело с вопросом, когда рассматриваемая группа Μ является определенной и когда нет. Пока это не выяснено, мы не имеем права оперировать над предлагаемой нам группой, потому что это бы значило, что мы оперируем сами не знаем с чем, с чем‑то, что, может быть, и не окажется определенным и в себе законченным. Ясно, что если группа конечна, т. е. состоит из конечного множества элементов (пока это только предварительное пользование термином «конечный», так как после его мы должны определить), то дать группу — это значит, например, дать один за другим все ея элементы, произвести cnu- merationcm simplicem[228]. Но необходимо ли это? Конечно нет, да иногда и не возможно, когда, например, элементов десять миллионов. Тогда группа дается тем, что по признакам всякого элемента мы можем решить, подходит ли он под данное единящее начало группы, или нет, принадлежит ли ко взятой группе, или нет и не тождествен ли с каким‑нибудь из уже взятых элементов группы. Ясное дело, что принимаемые во внимание признаки должны быть таковы, чтобы своею совокупностью решали вопрос, принадлежит ли элемент к данной группе, или нет, так как не всякие признаки позволят сделать это.
Если, например, мы возьмем группу точек на окружности и некоторую точку плоскости захотим дать таким признаком, что она не лежит вне окружности, то этот признак еще ничего не позволит решить, принадлежит ли данная точка к рассматриваемой группе, или нет; в самом деле, она может быть на окружности и тогда будет принадлежать к группе, и может быть внутри окружности, и тогда к группе принадлежать не будет.
Общее определение Кантор дает в таком виде: «Я говорю, что группа элементов, принадлежащих какой- нибудь абстрактной области (ѕрһӧге abstraite), вполне определена (Ъіеп d6fini), когда вследствие логического принципа исключенного третьего можно рассматривать, что она охарактеризована (ӓӗіегшіпб) следующим образом: 1) если выбран какой‑нибудь объект, принадлежащий этой абстрактной области, то можно считать, что определено по существу (intrinsfcquement), принадлежит ли он к системе, о которой идет речь, или нет, и 2) когда даны два объекта, принадлежащие группе, то можно считать по существу определенным (внутренне определенном), равны ли они или нет, несмотря на различия, могущие представиться в способе, которым они (эти элементы) даны»[229] [230]. Определение это необходимо несколько разъяснить, так как даже Борель[231] говорит[232], что «се passage… il nous a paru trfcs intdressant, mais en шёше assez difficile ӑ comprendre…»[233].
Кантор ведет речь об абстрактной области, потому что только в такой области может быть группа, как объект научного исследования. Тогда и только тогда представления или какие другие объекты могут сделаться элементами группы, когда мы усмотрим в них некоторую общность; но чтобы эта общность могла быть подвергнута логическому анализу, необходимо получить ее актом отвлечения, и, следовательно, мы тем самым перейдем в область абстрактного.
Определенность по существу означает τό, что хотя мы, методами и средствами‚ которыми располагаем, не можем решить очень часто, принадлежит ли элемент к данной группе, или нет, но зато мы можем быть уверены, что в сущности элемента уже предопределено, что он либо подойдет под определение группы, либо нет, но сомнений на этот счет или неопределенности оставить не может. А то ведь можно было бы сказать так: возьмем группу алгебраических чисел и некоторое произвольное трансцендентное уравнение. Принадлежит ли корень его к группе, или нет? Тут по существу еще вовсе не определено это, так как нужно указать, о каком именно уравнении идет речь. В одном случае ответ может получиться утвердительный, в другом — отрицательный. Но может быть и обратно. Данный элемент, например, число π, может по существу быть определенным в своем отношении к группе, например к группе чисел, хотя весьма затруднительно решить, принадлежит ли он сюда, или нет, а иногда и невозможно практически. Одним словом, Кантор говорит о логической определенности, а не о практической определимости.
Устроенность[234]. — Пусть нам дана группа Μ = {m}. Элементы ее охарактеризованы совокупностью признаков, общей для всех их; но возможно, что эти признаки, или по крайней мере некоторые из них таковы, что, сравнивая два произвольные элемента и т" по одному из признаков (а), мы усматриваем, что они допускают только троякое отношение: или элементы и т" являются тождественными с точки зрения взятого признака, или если не тождественными, то стоят друг к другу в одном из двух необратимых отношений, что обозначается в знаках так:
m' = m", m' >-m", m' m" (по признаку а).
Под необратимым отношением элементов разумеется такое, что если m' не равно m", то m' и m" относятся друг к другу не равноправно и не переместительно, входят в отношение не симметрично, но зато все элементы (т), не тождественные по данному признаку а с распределяются на две части, из которых одна состоит из элементов, находящихся с m' в таком же отношении, что и m", а другая — из элементов, относящихся иначе к m", именно, как само m' относится к m". Если каждая пара элементов ш по данному признаку а имеет непременно одно из этих трех отношений между собою и, притом, только одно, то их отношение Кантор называет отношением по рангу‚ ранговым отношением, πρότεροι› зеас ύστερον әеата тчхҪсі[235]. Соответственно с этим можно говорить, что m' или равно m" по рангу, или больше его, или меньше. В этом случае группа называется устроенной (geordnel)[236] по данному признаку а. Ранговые отношения ближе характеризуются в каждом частном случае отдельно. Это может быть порядок логической данности, порядок во времени, порядок пространственного расположения и т. п. Чаще всего это бывает «отношением величин», Grossenbcziehung — больше, равно, меньше, и тогда знаки >,=, — < принимают специальный вид знаков равенства и неравенства ›, = ‚‹.
Чтобы не уклоняться далеко в сторону, буду давать самые беглые замечания. Если группа устроена по каждому из признаков, всецело ее определяющих, то она носит название вообще устроенной группы[237]. Число признаков, определяющих такую группу и носящих название направлений данной группы, называется кратностью устроения группы, так что если признаков таких 4, то группа будет четырекраты–устроенная. Вообще говоря мы, ради простоты, станем рассматривать только одиножды–устроенные группы, в которых все элементы характеризуются в своем отношении к группе только одним признаком; но сначала поясним на двух–трех примерах, что такое устроенная группа.
Точки плоскости образуют группу двукраты- устроенную, потому что двух признаков, — двух координат, — достаточно, чтобы определить элемент. Она устроенная, потому что по каждому из признаков, например, по величине абсциссы и ординаты точек, они имеют ранговое отношение. Каждая точка может на данной линии либо совпадать с другой точкой, либо быть вправо от нея, либо влево. Музыкальное произведение — симфония, например, есть группа четырекраты- устроенная. Элементами ее служат тоны; каждый из тонов всецело определяется следующими четырьмя независимо друг от друга изменяющимися признаками: высотою, интенсивностью, длительностью и тембром. В качестве третьего примера можно дать всякую картину. Она тоже представляет собою четырекраты–у строенную группу, потому что элементы ее — точки определяются такими четырьмя независимыми друг от друга признаками: цветностью точки, насыщенностью ее цвета и положением этой точки по отношению к бортам картины, для чего нужно дать две координаты точки.[238]
Соответствие. — Пусть нам даны две группы Μ и N. Выделим в Μ некоторые части, из которых одна пусть будет Мі, и в N — части, среди которых некоторая ποлучит обозначение Νι. Свяжем эти части между собою так, чтобы произвольно выбрав Мі, мы вынуждены были остановить внимание именно на Νι, а не какой‑нибудь иной подгруппе из N, и наоборот, выбрав некоторую N2, должны были остановиться на некоторой М2. Тогда мы скажем, что между группами установлено соответствие. «Как известно, — говорит Ж. Таннери[239] — слово соответствие постоянно употребляется в математике: оно означает единовременную мысль о двух объектах; когда я думаю об одном из этих объектов, то думаю о другом»[240].