Страница 67 из 233
Доказательство, данное дю Буа Реймоном, идет ab esse ad posse[505]. Он показывает, именно, что, пользуясь самым рядом ‚ руководствуясь его свойствами, мы можем на самом деле построить функцию , обладающую искомым свойством быть по своему типу более всякого типа , как бы ни было велико п. А т. к. мы исходим при этом построении из свойств ряда ‚ нами же установленного совершенно произвольно, то отсюда будет следовать, что полученное построение возможно при всяком ряде, каков бы он ни был, чем теорема будет доказана. Мы не имеем возможности развить здесь это доказательство, но на геометрической схеме поясним, в чем дело.
Откладывая, как это делается на диаграммах, вдоль некоторой линии ОХ‚ начиная[506] от точки О, то или другое значение (черт. 1), а на перпендикуляре к ОХ, восстановленном из конца отложенного отрезка, соответствующее значение у, тем самым мы отметим некоторую точку, характеризующую своим положением на плоскости состояние функции при данном значении . Кривая, как геометрическое место таких точек, изображает закон, связующий и , — функцию. Прием этот («метод координат») слишком хорошо известен из всевозможных статистических и метеорологических диаграмм, чтобы стоило на нем останавливаться.
Беспредельное возрастание функции представится в виде беспредельного подъема кривой, а тип возрастания охарактеризуется стремительностью этого подъема по мере приближения к быстрине . Чем более тип, тем стремительнее подъем соответствующей кривой. Ввиду этого понятно, что если тип более типа ‚ то это не значит еще, что самая функция для всякого сама более функции нет, она может быть и меньше (тогда кривые пересекаются), но после известного значения , достаточно близкого к , функция будет более. [Заметим однако, что этот пункт пересечения в опыте может не быть данным. Может, он наступил бы, если бы жизнь развивающихся личностей не была прервана, смертью например, и, несмотря на это, все же тип будет более типа . Меньший же по типу иногда всю жизнь мнимо торжествует над бӧльшим по типу, но меньшим по фактически данному значению]. А в геометрической интерпретации это представится тем, что, после известного места, кривая, имеющая бӧльшую стремительность подъема окажется над кривой с меньшей стремительностью .
Итак, пусть у нас построена система бесконечного множества кривых , , …, , … и т. д., подымающихся все стремительнее и стремительнее к бесконечности; на чертеже 1 представлены только четыре из них: , , , . Задача наша — пояснить, что можно‚ на основании их, построить новую кривую, вздымающуюся еще стремительнее, т. е. соответствующую функции с типом, недостижимым скӑлою . Другими словами, потребно указать, кӓк построить такую линию , которая пересекла бы рано или поздно каждую из линий семейства ‚ как бы ни был велик ее нумер, и подымалась бы при достаточно близком к , над каждой кривой ‚ сколь бы ни было велико . Возможность описанного построения надо доказать; это нетрудно сделать следующим образом:
Подменим прежде всего функции, , …, , …и т. д. новым рядом функций, обладающим тем свойством, что каждая предыдущая не только имеет тип меньший, чем последующая, но что и значения ее никогда не более значений последующей. Предположим первые кривых таковыми, что в рассматриваемой области расположены друг над другом, так что линии , , …, останутся без изменения; ради симметрии в обозначениях мы назовем их теперь через , , …, ; на чертеже они (кроме ) не представлены. Пусть первая линия, не удовлетворяющая этому условию — , и она, пересекшись в некоторой точке с , подходит под ‚ когда достаточно близко к . Построение наше начинаем с нее. С этою целью проводим линию (на чертеже — пунктир), совпадающую с вправо от точки пересечения ее с ‚ а влево от этой точки идущую над линией и совпадающую с наивысшей из всех предыдущих линий, т. е. с . Построив , мы приступаем к стройке следующей, . До точки пересечения с линией , она должна совпадать с , затем располагаться по наивысшей из всех предыдущих кривых, т. е. по , доходить до точки пересечения ее с и далее идти по этой последней.
Таким образом, возможность построения системы кривых , , …, , , … и т. д. не подлежит сомнению. На чертеже они отмечены пунктиром, и понятно, что левые концы их должны совпасть; чем более нумера двух последовательных кривых, тем на большем протяжении совпадают соответствующие кривые.
Поступая, как описано, с каждой из линий семейства , мы получим новое семейство линий , , …, и т. д., для которых типы идут в порядке, возрастающем с их нумером, так что
и т. д.
и равны соответствующим типам семейства. Но только вновь проведенные линии уже не пересекаются друг с другом, и ни одна из них не имеет частей, лежащих выше, чем кривая большего ранга. Иначе говоря, кривая высшего ранга идет или над, или вместе с кривыми всех предыдущих рангов.
Если мы покажем теперь, что можно построить кривую , пересекающую рано или поздно каждую из линий семейства , , … и т. д., так что она подымется рано или поздно над каждой из линий , как бы ни был велик ее нумер, то этим будет доказано существование функции , тип возрастания которой более, чем тип возрастания как бы ни был велик ее нумер . Но если теорема доказана для функций , … и т. д., то тем более она доказана для функций , … и т. д., так как типы возрастания их соответственно равны, а значения каждой из функций , … и т. д. либо равны, либо менее соответственных значений функций , … и т. д. Поэтому ‚ в стремливости подъема опережающая рано или поздно каждую из функций , … и т. д., в том же самом месте опередит тем более и функцию из основного ряда . Но раз проведены кривые , … и т. д., то уже легко построить искомое геометрическое .
С этой целью возьмем на прямой ОХ бесконечный ряд точек, накопляющихся (ѕісһ haufen) около верхнего предела т. е. все ближе и ближе подходящих к нему, но однако никогда его не достигающих, так что является точкою накопления (Haufungs- punkt) взятого ряда. Такую группу можно получить, например, если станем делить пополам отрезок , потом разделим пополам правую половину его и т. д., каждый раз обращаясь к наименьшей из частей, лежащей правее всего. Ясно, что сколько бы мы ни делили так ‚ мы никогда не исчерпаем его, никогда не получим нуля в результате какого нибудь деления, а потому и не придем никогда к точке , хотя расстояние до будет делаться меньше сколь угодно малой величины.
Черт. 2.
Занумеруем затем систему точек деления, начиная от , в последовательном порядке числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…‚ n,… и т. п. Нужная нам группа получена (см. черт. 2). — В случае же, если точка b лежит в бесконечности, то мы возьмем точки 1, 2, 3… n… и т. д. на произвольных конечных расстояниях, хотя бы на равных между собою; так именно сделано на черт. 1 ради простоты и изящества построения.
В каждой из точек сказанной группы восставим перпендикуляр к ОХ до пересечения с тою кривою семейства , , … , , и т. д., которая имеет нумер, соответственный с нумером точки, так что перпендикуляр в 1–ой точке пересечется с во 2–ой — с и т. д.; и вообще, перпендикуляр в n–ой точке пересечется с в (n + 1) — ой–с и т. д. Принимая далее начерченные прямые за ординаты, соединим концы их ломаной линией. Это и будет искомое геометрическое место . Из чертежа 1 видно, что вправо от n–ой из проведенных ординат все оно, , целиком лежит над n–ой кривой и, тем более, над , ибо переходит от точки, лежащей на этой кривой или над нею, к точке, заведомо находящейся над этой кривой, — к точке кривой .
Раз так, то после всякого , достаточно близкого к , именно после , определяемого n–ой точкой, ломаная подымается вверх круче, чем всякая кривая семейства , до n–ой включительно, и это — так, как бы ни был велик нумер кривой . Поэтому ясно, что ни про какую функцию нельзя сказать, что тип ее равен типу функции , изображаемой посредством геометрического места , как бы ни было велико n, т. е.
при всяком n. Это и требовалось доказать.
Подобным же образом можно доказать, что какую бы мы ни дали счетовую группу типов возрастания, расположенную так, что каждый последующий тип менее предыдущего, — всегда найдется тип, меньший всех их. Аналогичные теоремы можно доказать и относительно типов убывания функций, когда функция стремится, например, к нулю. И тут тоже невозможно представить себе счетовой группы их, позволяющей превзойти всякий тип убывания. Но после сказанного читатель и самостоятельно может убедиться в правильности последних утверждений.