Поэтому настоящая попытка свободных изыскателей должна, по необходимости, быть ограничена наличием существующих сил и средств и рассматриваться как первое достижение в области изысканий твердых научных подходов к древнему и вечному, живому универсальному языку зрительных образов.

В подборе материала для первого выпуска словаря («Точка») принимали участие кроме редакторов следующие лица: В. П. Батурина, Ф. П. Веревин, В. П. Зубов и Е. С. Орлина.

Порядок обозначения цитат принят следующий: римская цифра, стоящая перед цитатой, означает номер отдела, следующая арабская — номер подотдела и последняя арабская — порядковый номер цитаты.

ТОЧКА

Простейший графический символ — точка — и по своему значению в областях мысли различнейших есть начало первоосновное. Отсюда понятно, (что) в символе точки завиты и основы же антиномии соответственных областей; как начало всего, точка и есть и не есть. Поэтому она делается символом, во–первых, ряда бытийст- венного, в самых разных смыслах, а во–вторых, ряда не- бытийственного, и, наконец, совместное утверждение бытия и небытия, относимое к одной и той же точке, устанавливает за ней ряд символических потенций, опять‑таки в различнейших применениях.

Антиномическая значимость точки должна упираться в конечном счете в графическую ее антиномичность и без этого, естественно, висела бы в воздухе и была бы условной и произвольной. Действительно, от времен глубочайшей древности и до наших дней в геометрии тянутся две нити понимания точки, друг к другу несводимые, друг с другом сопряженные антиномически; можно было быть уверенным, они и протянутся в математику будущего до конца веков, каким бы неожиданным преобразованиям и усовершенствованиям в дальнейшем эта наука ни подверглась. Та или другая сторона антиномии точки выдвигается в каждую полосу исторически текущей мысли, притязая на окончательное торжество. Но противная сторона замирает, но не уничтожается, отдыхает от предыдущего напряжения. Набравшись сил, она в скором времени выступает со вновь отточенным оружием и завоевывает себе господство, но тоже временное. При этом в строении общественной мысли как целого никогда не бывает, чтобы традиция того и другого понимания точки совсем пресеклась: связь идейной генеалогии утончается, но не рвется, да и не может совсем оборваться, потому что каждым пониманием точки подразумевается другое. Точка и пространство соотносительны, и каждая из обоих может быть логически акцентуирована, но такой акцент, ставя акцентуированное на первое место, тем самым закрепляет, хотя и на втором, начало сопряженное. Так и ведется от древности борьба за первенство между точкой и пространством. Пространству из точек противополагаются точки в пространстве; точечному множеству, хотя бы и своеобразного строения, противустоит в мысли сплошное continuum, в отношении которого точки устанавливаются условно. В первом случае пространство мысль пытается превратить в абстракцию, некоторый примысл к подлинной реальности точек; а во втором — реальным понимается лишь continuum, сплошное пространство, тогда как точки оцениваются в качестве мыслимых фикций. Но в первом случае не оказывается возможным положить множество, поскольку оно есть единый объект мысли, без начала объединяющего, а это последнее, поскольку содержание полагаемых элементов множества чисто пространственное, не может не быть средой пространственной; во втором случае полагаемая сплошная среда — continuum был бы абсолютно недоступен мысли, если бы в нем отсутствовали реально принадлежащие ему замкнутые в себя элементы, причем в среде, суть которой исключительно пространственна, эти споры мысли не могут быть иными, как тоже пространственными — точками. Точки подразумевают сплошное пространство, а оно в свой черед требует точек.

Исторически наиболее чеканное определение точки было дано в Пифагорейской школе: «точка есть единица, имеющая положение» — μόνος, έχουσα Ѳё<пѵ[1937]*. Единица, занимающая положение в пространстве, — точнее и удачнее этого никогда не было сказано, если отправляться в антиномии точки — пространства от первой. Из этого определения непосредственно вытекает, что геометрическое тело есть множественность, сумма точек, рассуждения над треугольными, многоугольными, пирамидальными числами имеют в виду именно образование геометрических форм из точек. А далее — на очереди и построение из точек всего физического мира, состоящего из физических точек; между точкой физической и точкой геометрической, между телом физическим и телом геометрическим пифагорейцы не делали существенной разницы. Пифагорейское «вещи суть числа» по указанию П. Таннери (P. Tannery. Le concept scientifique du continu. — Revue philosophique, 1885, N 11; П. Таннери. Первые шаги древнегреческой науки. СПб., 1902, с. 196, 238, 240) понималось до Зенона именно в том смысле, что тела — суммы физических точек, а свойства тел связаны со свойствами соответственных чисел. Это определение точки было господствующим во времена Аристотеля и дошло до Евклида; но после критики Зенона оно перетолковывалось уже в символическом смысле, возникновение какового историки относят ко времени Фи- лолая [1938]\

Элейская школа противопоставляет точке–монаде школы Пифагорейской сплошное единое, под которым, как известно, разумелось пространство. Но Пифагорейское определение словом «положение — Θέσιν» уже косвенно указывало на пространственную среду, относительно которой только и может быть говоримо о положении. Элейское же единое характеризовалось в школе лишь отрицательно, путем устранения множества, раздельности, движения и проч.; из этого очевидно, (что) понятие о едином может удерживаться в мысли, только пока еще из него не изгнана множественность единиц, с ним соотносительных. В пределе, прежде чем совсем исчезнуть, эти единицы мыслятся как точки в определении Евклида — последние зацепки интеллектуальной апперцепции. В духе евклидовского определения мыслятся далее точки как тельца исчезающе малых размеров: точка есть тело на границе своего уничтожения [1939]* Между пифагорейским и евклидовским определениями протекает вся история математики, и, несмотря на кажущуюся бесповоротность победы Зенона над определением Пифагора и держащегося на ней определения по Евклиду, пифагоровское понимание многократно возрождалось. Да и наше время не склонно ли понимать точку в духе Пифагора, хотя и далеко не с пифагоров- ской отчетливостью.

В XVII веке Паскаль издевался над Кавалером де Мерэ, который, как нематематик, не понимал понятия непрерывности и мнил линию состоящей из точек; в XVII веке о такой наивности можно было сообщать, не утруждая себя доказательствами и ограничившись одной усмешкой. Но в XIX веке мы видим бесчисленные попытки, замышленные первоначально, по–видимому, в Гербертовской школе и глубокомысленно разработанные Риманом, — породить пространство движением точки. Продвигаясь, точка дает многообразие одномерное — линию; линия своим движением дает многообразие двухмерное — поверхность; движение поверхности приводит к трехмерному многообразию — пространству; это последнее ложится в основу пространства четырехмерного и т. д. Различный характер этих движений имеет следствием, по мысли Римана, различное строение пространств того или другого числа измерений — различную их кривизну в каждом месте. Римановское построение сделалось общепринятым. Но какие бы утонченности ни вносились в него, никогда они не могли скрыть той основной концепции, что пространственные образования, самое пространство, самые пространства суть точечные многообразия. Иначе говоря, в математике, а из нее в философии укоренилось понимание пространства как состоящего из точек, а самые точки уже не могли пониматься как единицы, имеющие положение. Но с этим «положением» дело обстояло и обстоит скверно, поскольку принято делать вид, будто оно, в конечном счете оказывающееся чисто пространственным, может в самом деле быть определено помимо пространства: ведь эти точки–единицы не имеют между собой никакой качественной разницы и, следовательно, или должны слиться в нашем сознании в одну точку, или получить пространственное различение. Вполне в упор взял концепцию о пространстве из точек как единиц Георг Кантор [1940]* По Кантору, все рассматривается как множество — мысленно объединяемых в единый объект — совокупностей вполне различных между собой, индивидуально очерченных элементов, которые в процессе отвлечения дают единицы, тогда как самое множество — общее понятие числа количественного и порядкового. Хотя и вынужденный расширить натуральный числовой ряд за конечные пределы и создать трансфинитные числа и типы порядка, Кантор, однако, не расстается с древним основоположением, что «все есть множество — πολλά έστι τά οντα», как Зенон формулировал учение пифагорейцев,

19 П. Флоренский, т. 2

или с пифагорейским «вещи суть числа»; и не только не расстается, но именно ради того и придумывает трансфинитные числа, чтобы иметь право всегда говорить, что все есть число. Ударным же центром его усилий, истинным смыслом его работ было: понять непрерывное как род дискретного, составить сплошное из точек и выразить потребное к тому множество — числом. Работы Кантора и его последователей над проблемой континуума вызвали к жизни целую систему тонко отшлифованных понятий, безмерно ценных в самых разных отношениях; исследование соприкосновенных с континуумом понятий подвинулось вперед за три десятилетия, вероятно, более, чем за три тысячелетия до того. Но основная задача — логическая конструкция континуума к точкам–единицам и устранение среды, в которой эти точки имеют положение, — продолжает стоять как раз на том самом месте, где она была до Пифагора: континуум удается построить лишь на фоне подразумеваемой интуиции сплошного, а когда эта интуиция честно изгоняется вон, то и никакого континуума не получается. Да и понятно, когда мы не имеем способности созерцать hiatus, пробел между точками, усматриваемый только созерцательно, мы не можем и строить континуума, ибо не знаем, имеет ли пробелы то, что мы построили, или «связано», как выражается Кантор; континуум и лжеконтинуум на наш только логический вкус ничем не отличается. Впрочем, интуиция континуума и более глубоко проникает в состав всякого точечного множества (Punktmannigfaltigkeit, Punktmenge), ибо самое различение точек как точек пространства возможно только на фоне этого пространства, а если бы мы в самом деле взяли их, не имеющих никаких количественных различий и отличающихся друг от друга только положением в пространстве, вне пространства, то они перестали бы различаться между собой и необходимо слились бы, ибо пространство именно есть их principium individuationis[1941]*. Но это — возражение по существу, а исторически несомненно мы находимся на гребне волны канторианства; этому кругу понятий принадлежит в математике ближайшее будущее. К тому же намечавшееся еще от Бос- ковича и Фарадея представление о материи как системе силовых центров, по–видимому, имеет в скором времени слиться с Канторовским пониманием пространства, и мы, после того как эфир растворился в пространстве, а пространство сделалось родом эфира, весьма недалеки от отождествления точечных первоэлементов пространства, точнее, пространства — времени с первоосновой материи.

Но это развитие и укрепление одной стороны антиномии. Однако параллельно ей растет и укрепляется другая — отрицание точечных элементов и провозглашение реальностью — сплошного. Таковы именно бергсо- нианство и течения, к нему примыкающие. Время, сплошная длительность и пространство подлинно реальны, а множественность в них — это отвлеченные фикции, примысел к реальности, «мнение — δόξαкак сказали бы Элейцы. И, следовательно, тут снова мысль возвращается к евклидовскому пониманию, по которому точка дается лишь как отрицание пространства — времени, как ничто, как нуль, как «призрак исчезнувшей величины».

Если пифагорейское понимание точки видит в ней единицу, то по евклидовскому — она должна быть понимаема как ничто. Отсюда понятно двойственное значение точки или ряда точек в графической символике областей разнообразнейших, когда точка или точки имеют в виду либо отметить единство, неделимость, не- расплескиваемость и относительную самодовлеемость некоторого объекта, либо, напротив, — отсутствие объекта, отрицательно–экзистенциальное суждение о нем. В первом смысле точка есть символ единицы, как, например, бусы счетов, счетные марки, зарубки бирок, точечки, ставимые в процессе счета каких‑нибудь вещей, многоточия в математических формулах, например в рядах, имеющие указать, что ранее отмеченными членами дело не ограничивается, но что имеются еще аналогичные члены, каждый из которых, как некая мысленная единица, обозначен одной точкой; синтаксически многоточие опять имеет смысл не тот, что у начатой фразы нет конца, а, напротив, тот, что такой конец есть, и наличие в уме говорящего ряда последующих слов, как некоторых языковых единиц, поставленными точками заверяется; эти точки–единицы представительствуют за слова и в любой момент могли бы быть реализованы. Но как раз с обратным значением ставятся точки, например, в оглавлениях книг, в счетах или счетных книгах, в ин- вентарях: точками указывается здесь отсутствие некоторых объектов, ими наглядно осуществляется пустота, пробел или внушается мысль, что если в данном месте те или другие знаки, цифры, буквы, слова и т. п.

Такая точка, символ отсутствия, естественно, получила в цифровой системе индусских и арабских цифр, в свой черед происшедших, вероятно, из цифр древнегреческих, значение арифметического нуля. Наша же современная цифра нуль 0, как известно, возрастала с течением веков, а первоначально писалась в виде совсем маленького кружочка, впрочем, и доныне в шрифтах иностранных 0 нередко имеет размеры, меньшие против цифр, и круглую форму. Этот древний 0, по указанию историков математики, есть сведение в один знак графического символа точки и буквенной инициального омикрон, 0, от слова ουδέν — ничто.