Современная научная мысль обнаруживает потребность в хорошо выработанном механизме числовых функций и вообще числовых изучений — в том, что называют арифмологиеӓ[1980]* Можно предвидеть, недостаточная развитость арифмологических дисциплин будет камнем преткновения новой натур–философии и потребует в скором времени концентрации математических сил именно в этом направлении.

III

Между тем, сравнительно малая успешность арифмологических изысканий объясняется не только отсутствием жизненного и, в частности, практического спроса на таковые, но и неясностью в сознании основного понятия — о числе, даже ложностью его. 'Αριθμός число‚ это, согласно М. Бреалю[1981], — то же слово, что άρθμός — сочленение, член, сустав, и означает, следовательно, упорядоченную связь, расчлененное единство. Вот этот‑то характер единства, живо чувствовавшийся пифагорейцами, основательно позабыт поколениями, нам непосредственно предшествовавшими. Обычное определение числа, как «суммы единиц», уничтожает число в качестве индивидуальной формы и тем самым разрушает его, как universale. Правда, это понимание числа опирается на Ньютона и, далее, на Евклида, сказавшего, что «число есть множество, составленное из единиц — αριθμός δέ τό έκ μοναδως συν- κειμένον πλήθος (Евклңц — Начала, книгаУІІ)[1982]*Но, по словам Ямвлиха, уже Фалес определил число как «систему единиц»; а Евдокс в IV веке до P. X. говорил, что «число есть заключенное в границы, т. е. оформленное, множество — «άριθμός έστι πλήθος ώρισμένον[1983]. На органически простом характере числа настаивает также Никомах. Дальнейшая мысль все время колеблется между пониманием числа, как суммы, совокупности, вообще некоторого внешнего накопления, и — как некоторого единства не количественно, а качественно отличающегося от прочих подобных единств. Иначе сказать, это есть колебание между числом как агрегатом и числом, как формою.

Достойно внимания, что даже такие глубокие мыслители, как Лейбниц, путались между этими двумя мысленными подходами к понятию числа. Так, в 1666 г. в предисловии к «Dissertatio de arte combinataria», Лейбниц весьма настаивает на целостности числа, как абстракта от объекта, мыслимого единым интеллектуальным актом: коль скоро этот акт един, единым будет и число, хотя бы содержанием единого акта были бы «лета Мафусаила»; «abstractum autem ab uno est unitas, ipsumque totum abstractum ex unitatibus, seu totalitas, dicitur numerus — абстракт же от единого — есть единство, сам же целостный абстракт от единиц, или целокупность, называется числом» [1984]* Кажется, яснее быть не может! Но через три года, в письме к Томазию, тот же философ объявляет, что «определение числа есть: один да один, да один и т. д., или единицы» — полнее уничтожение всего предыдущего [1985]*

Этого рода сбивчивость так обычна, что нет надобности пояснять ее дальнейшими примерами. Но по существу, понятие о числе, упускающее из виду его индивидуальную форму, в силу которой оно есть некоторое в себя замкнутое единство, безусловно ложно и коренным образом извращает природу числа. Тут число хотят образовать последовательным накоплением единиц, или, в порядковой теории Кронеккера и Гельмгольца, последовательными переходами по ступеням основного ряда числовых символов; тогда неизбежно возникает вопрос: сколько же именно раз должно последовательно прибавиться по единице или — сколько именно раз нужно переходить в основном ряду со ступени на ступень. Пока на вопрос «сколько раз?» ответа не дано, мы не имеем права считать понятие о числе установленным, ибо до тех пор одно число ничем не отличено от другого, и все они безразлично — суть символы накопления единиц или же символы перехода по ступеням вдоль ряда, но ни в коем случае не числовые индивидуумы. Без индивидуальности их ряда не построить, а между тем не ряд образует числа, а числа — ряд. Когда же ответ на вопрос «сколько раз?» дан, то тогда уже нечего производить последовательное сложение или последовательное восхождение: своим ответом мы обнаружили уже, что имеем понятие данного числа и, следовательно, строить его нет надобности [1986]*

Число есть, следовательно, некоторый прототип, идеальная схема, первичная категория мышления и бытия. Оно есть некоторый умный первоорганизм, качественно отличный от других таких же организмов — чисел. И не без основания Платон почти отождествил свои идеи с пифагорейскими числами, а неоплатоники слили те и другие с богами:

То, что ты в Космосе видишь, есть только

божественный отблеск,

А над богами царит сущее вечно Число[1987]*

Светом правильного понимания числа обязана новая наука Георгу Кантору[1988]* Он рассматривает «целые числа» и порядковые типы как универсалии, которые относятся ко множествам и получаются из них, когда делается абстракция от состава элементов. Каждое множество вполне отличных друг от друга вещей можно рассматривать, как некоторую единую вещь для себя, в которой рассматриваемые вещи представляют составные части или конститутивные элементы. Если делают абстракцию как от состава элементов, так и от порядка, в котором они даны, то мы получаем количественное число‚ или мощность множества; здесь мы имеем общее понятие, в котором элементы, как так называемые единицы (Einsen), срастаются известным образом в такое органическое, единое целое, что ни один из них не представляет какого‑нибудь иерархического преимущества перед другими элементами. Если вышеуказанный акт абстракции совершается над некоторым данным, упорядоченным в одном или нескольких отношениях (измерениях) множеством, — лишь в отношении состава элементов, так что их взаимный порядок сохраняется и в том общем понятии, которое образует таким образом некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой — в одном или нескольких отношениях — определенный взаимный порядок, то мы получаем благодаря этому такое universale, которое я называю вообще типом порядка‚ или идеальным числом‚ а в частном случае вполне упорядоченных множеств — «порядковым числомТаким образом, «количественные числа, как и типы порядка, представляют простые абстрактные образования; каждое из них есть истинное единство (μονάς), потому что в нем воедино связано множество и многообразие единиц (Einsen). Если нам дано множество М, то элементы его следует представлять себе раздельными. В умственном же отображении его, которое я называю его типом порядка, единицы соединены в один организм. В известном смысле можно рассматривать каждый тип порядка, как некоторый compositium[1989]* из материи и формы. Заключающиеся в нем абстрактно отличные единицы дают материю, между тем как существующий между ними порядок соответствует форме».

Евклид «рассматривает единицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множестве, к которому он его относит. По крайней мере в евк- лидовском определении не хватает прямого указания на единый характер числа, между тем как это безусловно существенно для него». «Мы должны поэтому представлять себе под л–кратным типом порядка идеальный образец (paradigma) я–кратно упорядоченного множества, как бы /2–мерное целое действительное число, т. е. некоторое логически, органически–единое соединение единиц, упорядоченных в η различных и независимых друг от друга отношениях, которые здесь нужно называть направлением» [1990]*.

Если бы теория кратко–протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выражалось бы сложнейшее строение объектов природы, и познанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие. Но однако, не этот круг вопросов служит сейчас предметом нашего внимания.

Тип порядка и мощность множества логически различны; но не следует думать, будто этим логическим различием можно пренебречь хотя бы в практическом пользовании; так обстояло бы лишь при взаимооднозначном соответствии мощности и типов порядка. Но этого соответствия нет, и данная мощность принадлежит не одному, а многим типам порядка.