В соотношении типов кратных это очевидно; бесспорно это также и в отношении типов простых, но трансфинитных; даже типы множеств благоустроенных, — порядковые числа, — от их мощностей, — чисел количественных, — должны быть различаемы вовсе не только в порядке отвлеченно–логическом. Дело в том, что лишь в отдельных случаях парными перестановками элементов два множества различного строения, но одинаковой мощности могут быть сделаны подобными друг другу, т. е. приведены в конформное соответствие; следовательно, вообще говоря, они не подводятся под порядковое число.

Таковы множества трансфинитные. Им резко противополагаются множества конечные, относительно которых различение порядковых и количественных чисел признается имеющим значимость только принципиально логическую: каждому количественному числу соответствует, согласно общему убеждению, одно, и только одно, порядковое.

Это убеждение предполагает всегдашнюю возможность перевести всякое конечное множество последовательными парными транспозициями из одного порядка во всякий другой.

Ведь дело здесь идет не о связи между собою понятий, уже установленных, а о свойствах действительности, a priori неустановимых: множество есть конкретное содержание различных отвлекаемых от него универсалий, точка приложения умственных операций, и потому мы не можем заранее из всякого возможного будущего опыта исключить свойства, логическая немыслимость которых отнюдь не доказана.

В нашем случае, логически нет оснований утверждать, будто всякое строение конечного множества может быть преобразовано во всякое другое парными перестановками элементов. Натур–философски же естественно думать о формах конечных множеств, как о неприводимых друг к другу, качественно различных между собою, хотя бы они и подводились под одно и то же количественное число.

Может быть, с этой точки зрения следовало бы пересмотреть вопросы молекулярной, атомной и, вероятно, электронной дисимметрии, т. е. в плоскости числа, а не пространства; биология, в частности вопросы наследственности, где существенным признается число хромосом, теория мутаций и т. д., в будущем признает необходимостью воспользоваться обсуждаемым кругом понятий.

Но как бы то ни было, а естествоиспытателю никак не может представляться самоочевидным, будто два конечные множества одной мощности тем самым и подобны между собой. Счет есть последовательная установка соответствия между единичными элементами множества и последовательными числами натурального ряда. Следовательно, в результате счета получается число порядковое, но отнюдь не количественное. Но ни из чего не видно, что, сосчитывая два равные по количеству множества, мы непременно получим в обоих случаях одно и то же порядковое (не количественное — повторим) число; о возможности же всегда, при равных мощностях, получать один и тот же кратный тип порядка — говорить тем более не приходится.

Между тем, с различением типов и мощностей, и в частности — порядковых и количественных чисел, мы вынуждены считаться, как только теоретические калькуляции алгебры или теории чисел мы соотносим со счетом в действительности: повидимому, редко задумываются, что результат алгоритмических калькуляций может быть переотносим на множества, как предмет счета, лишь синтетическим суждением, и возможность такого переноса вовсе не подразумевается сама собою. В алгебре и в теории чисел в большинстве случаев мы производим действия над числами количественными и потому не имеющими типа, лишенными строения, а следовательно — и неизобразимыми. Это — вообще числа. Покуда они остаются «вообще», изображать их в частности — нет нужды; но за то они и неприменимы ни к какому конкретному множеству. Да мы и не знаем, как можно перейти от этих чисел «вообще» к числам «в частности», оставляя при этом числа безструктурными.

А между тем, мы не обладаем непосредственной интуицией мощности и, следовательно, не способны обозначить и назвать мощность (количественное число), как таковую. Чтобы быть узнано, познано, названо и обозначено, число должно быть расчленено; а без расчленения есть не более как хаотическое множество, неопределенность. Но это расчленение, по следам естественного расчленения множества (как объект природы, множество непременно имеет свою форму, значит — и соответственное членение), утверждает порядок множества. А потому, отвлеченная схема такого множества, по самому приему образования ее, обязательно есть тип порядка, идеальное число, в частности — число порядковое, но никак не количественное. Считая, — мы никогда не получим количественного числа — непременно порядковое или тип порядка. Всякая система счисления расчленяет множество, на том или другом основании, причем возможны и даже отчасти применяются системы счисления с основанием переменным (таковы все системы мер, разве что за исключением метрической).

В алгебре и в теории чисел вопроса об изображении числа по системе того или другого основания просто не существует, и лишь по старой памяти где‑то мимоходом делается заметка о системах счисления. Но это так потому, что в названных дисциплинах обсуждаются числа количественные, и применимость найденного к действительным множествам никогда не становится предметом внимания. Но теоретико–познавательно и психологически невозможен числовой ряд без системы счисления. Счет в его отношении к действительному множеству подразумевает числовой ряд, а в числовом ряде — и принцип его установки — систему счисления.

Сосчитать — значит изобразить число: множество не изображенное — в числовом смысле и не познано, не сосчитано. Изображенность числа не есть, следовательно, только психологический костыль арифметики, без которого она обошлась бы, хотя и менее удобно, — не есть внешняя одежда арифметического понятия, одеваемая на число ради удобства и благопристойности, но существенно входит в самый акт числового познания: она необходима.

Мы привыкли к мысли об изобразимости одного и того же числа (т. е. количественного) по разным системам. Слишком привыкли, считаем выбор системы почти безразличным. Может быть, в каких‑либо отношениях она и в самом деле не имеет решающего значения, но тем не менее не должно быть забываемо, что конкретный счет имеет дело с числами порядковыми, а два числа, хотя бы и одной мощности, но изображенные в разных системах, отличаются друг от друга своим членением — имеют разную форму и далеко не отожде- ствимы между собой. Раз дело идет о порядковых числах, то написание их по разным системам — дает не одно и то же число.

Указывались неоднократно преимущества той или другой системы для счета тех или иных множеств; так, исторически известны системы с основаниями: 60 — у вавилонян, 20 — у ацтеков и кельтов, 6 и 12 — у различных народов, и т. д. Предлагались также фактори- альная нумерация, нумерация двоичная, четверичная, восьмиричная, двенадцатиричная и т. д.