Подменим прежде всего функции, , …, , …и т. д. новым рядом функций, обладающим тем свойством, что каждая предыдущая не только имеет тип меньший, чем последующая, но что и значения ее никогда не более значений последующей. Предположим первые кривых таковыми, что в рассматриваемой области расположены друг над другом, так что линии , , …, останутся без изменения; ради симметрии в обозначениях мы назовем их теперь через , , …, ; на чертеже они (кроме ) не представлены. Пусть первая линия, не удовлетворяющая этому условию — , и она, пересекшись в некоторой точке с , подходит под ‚ когда достаточно близко к . Построение наше начинаем с нее. С этою целью проводим линию (на чертеже — пунктир), совпадающую с вправо от точки пересечения ее с ‚ а влево от этой точки идущую над линией и совпадающую с наивысшей из всех предыдущих линий, т. е. с . Построив , мы приступаем к стройке следующей, . До точки пересечения с линией , она должна совпадать с , затем располагаться по наивысшей из всех предыдущих кривых, т. е. по , доходить до точки пересечения ее с и далее идти по этой последней.

Таким образом, возможность построения системы кривых , , …, , , … и т. д. не подлежит сомнению. На чертеже они отмечены пунктиром, и понятно, что левые концы их должны совпасть; чем более нумера двух последовательных кривых, тем на большем протяжении совпадают соответствующие кривые.

Поступая, как описано, с каждой из линий семейства , мы получим новое семейство линий , , …, и т. д., для которых типы идут в порядке, возрастающем с их нумером, так что

и т. д.

и равны соответствующим типам семейства. Но только вновь проведенные линии уже не пересекаются друг с другом, и ни одна из них не имеет частей, лежащих выше, чем кривая большего ранга. Иначе говоря, кривая высшего ранга идет или над, или вместе с кривыми всех предыдущих рангов.

Если мы покажем теперь, что можно построить кривую , пересекающую рано или поздно каждую из линий семейства , , … и т. д., так что она подымется рано или поздно над каждой из линий , как бы ни был велик ее нумер, то этим будет доказано существование функции , тип возрастания которой более, чем тип возрастания как бы ни был велик ее нумер . Но если теорема доказана для функций , … и т. д., то тем более она доказана для функций , … и т. д., так как типы возрастания их соответственно равны, а значения каждой из функций , … и т. д. либо равны, либо менее соответственных значений функций , … и т. д. Поэтому ‚ в стремливости подъема опережающая рано или поздно каждую из функций , … и т. д., в том же самом месте опередит тем более и функцию из основного ряда . Но раз проведены кривые , … и т. д., то уже легко построить искомое геометрическое .

С этой целью возьмем на прямой ОХ бесконечный ряд точек, накопляющихся (ѕісһ haufen) около верхнего предела т. е. все ближе и ближе подходящих к нему, но однако никогда его не достигающих, так что является точкою накопления (Haufungs- punkt) взятого ряда. Такую группу можно получить, например, если станем делить пополам отрезок , потом разделим пополам правую половину его и т. д., каждый раз обращаясь к наименьшей из частей, лежащей правее всего. Ясно, что сколько бы мы ни делили так ‚ мы никогда не исчерпаем его, никогда не получим нуля в результате какого нибудь деления, а потому и не придем никогда к точке , хотя расстояние до будет делаться меньше сколь угодно малой величины.

Черт. 2.

Занумеруем затем систему точек деления, начиная от , в последовательном порядке числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…‚ n,… и т. п. Нужная нам группа получена (см. черт. 2). — В случае же, если точка b лежит в бесконечности, то мы возьмем точки 1, 2, 3… n… и т. д. на произвольных конечных расстояниях, хотя бы на равных между собою; так именно сделано на черт. 1 ради простоты и изящества построения.

В каждой из точек сказанной группы восставим перпендикуляр к ОХ до пересечения с тою кривою семейства , , … , , и т. д., которая имеет нумер, соответственный с нумером точки, так что перпендикуляр в 1–ой точке пересечется с во 2–ой — с и т. д.; и вообще, перпендикуляр в n–ой точке пересечется с в (n + 1) — ой–с и т. д. Принимая далее начерченные прямые за ординаты, соединим концы их ломаной линией. Это и будет искомое геометрическое место . Из чертежа 1 видно, что вправо от n–ой из проведенных ординат все оно, , целиком лежит над n–ой кривой и, тем более, над , ибо переходит от точки, лежащей на этой кривой или над нею, к точке, заведомо находящейся над этой кривой, — к точке кривой .

Раз так, то после всякого , достаточно близкого к , именно после , определяемого n–ой точкой, ломаная подымается вверх круче, чем всякая кривая семейства , до n–ой включительно, и это — так, как бы ни был велик нумер кривой . Поэтому ясно, что ни про какую функцию нельзя сказать, что тип ее равен типу функции , изображаемой посредством геометрического места , как бы ни было велико n, т. е.

при всяком n. Это и требовалось доказать.

Подобным же образом можно доказать, что какую бы мы ни дали счетовую группу типов возрастания, расположенную так, что каждый последующий тип менее предыдущего, — всегда найдется тип, меньший всех их. Аналогичные теоремы можно доказать и относительно типов убывания функций, когда функция стремится, например, к нулю. И тут тоже невозможно представить себе счетовой группы их, позволяющей превзойти всякий тип убывания. Но после сказанного читатель и самостоятельно может убедиться в правильности последних утверждений.