Подобные же рассуждения можно было бы применить и к пространствам большего», чем три, числа измерений. Тут опять пришлось бы говорить об удельной емкости, но уже не в отношении объемов, а — гипер–объемов и прочих n–мерных содержаний соответственных п–мерных пространств. Удельная емкость могла бы быть принята за характеристику кривизны.

До сих пор кривизна определялась как удельная емкость в отношении несжимаемой жидкости, подобно тому как длина оценивалась в отношении гибкой нерастяжимой нити. Но как нерастяжимая нить не есть единственная возможная наглядная основа для определения и оценки длины, так же и несжимаемая жидкость —не единственный эталон объема, но допускает рядом с собою и многие другие. Тогда, следовательно, и кривизна пространства, сохраняя формальное единство своего определения, как коэффициент емкости, будет получать различные оттенки в зависимости от косвенного дополнения при слове «емкость». Чего именно коэффициент емкости есть кривизна, это в разных случаях будет определяться различно, смотря по данному применению геометрии. Негибкость определения кривизны сделала бы геометрию неприменимою во всех случаях, за исключением того, когда мы имеем дело с несжимаемыми жидкостями. Итак, в одних случаях мы будем говорить об удельной емкости в отношении жидких и сыпучих тел, а в других —о емкости в отношении прочих физических величин и вообще — характеристик. Это может быть электрическая или магнитная масса, теплота, волновая энергия и т. д., и т. д. Мы можем относить удельную емкость пространства к среде, выделяя ее, эту емкость, как особое самостоятельное многообразие, сосуществующее пространству, которому, как таково^, вообще не приписываем ничего, кроме функции распространять — etendre — среду, т. е. быть etendu, и, следовательно, тогда запрещаем непосредственно сочетать с пространством понятие о емкости. Либо многообразие емкостного параметра мы не обособляем от пространства как такового, т. е. не гипостазируем переменной, вообще говоря, характеристики пространства — свойства иметь различную емкость в разных местах —в самостоятельное многообразие. Тогда речь идет только уже о пространстве и физическом факторе, который нами в данном случае рассматривается и в отношении которого определяется удельная емкость, т. е. кривизна пространства.

Когда определение прямизны, или длины, или угла и т. д. опирается на различные физическое наглядности, то, как мы видели, некоторое согласие этих наглядностей держится только внутри той или иной ограниченной действительности и расстраивается за ее пределами — за пределами «круга сходимости». Было бы весьма странно, если бы по какой‑то предустановленной гармонии различные определения прямизны, длины и проч. всюду и всегда не расходились бы между собою; если бы это произошло, то все убеждало бы нас, что лишь по недоразумению эти определения считаются различными, на самом же деле — просто тождественны. В этом смысле правильно сказано, что кривизна, длина, угол и проч., определенные в отношении разных физических наглядностей, суть вообще разное и лишь приблизительно покрывают друг друга.

Конечно, не иначе обстоит и с определением емкости, а следовательно — и кривизны. Емкость пространства данной точки не есть определенная величина, покуда не указано косвенным дополнением о емкости чего именно, какого именно физического деятеля идет речь. Вообще говоря, лишь внутри небольшой области кривизна пространства может быть одною и тою же в отношении нескольких различных деятелей, и было бы счастливой случайностью, если бы такое совпадение обнаружилось далеко за пределами исходной области исследования. Если нам кажется порою, будто такое согласие в отношении нескольких деятелей имеется всюду, то это — самообман: мы перекладываем расхождение удельных емкостей пространств в отношении нескольких деятелей на соответственное расхождение коэффициентов сред, в которых разыгрываются рассматриваемые физические процессы. Среды эти там и тут наделяются совсем разными свойствами, т. с. признаются разными. Иначе говоря, различное поведение пространств в отношении разных деятелей приводится как будто к полному единству, но потому, что отклонение от единства мы гипостазируем в виде особых сред, и притом разных—для разных деятелей; этим‑то средам и вменяется расхождение пространственных емкостей. Разумеется, нельзя помешать такому гипостазированию; но необходимо ясно понимать, что на самом деле преодоления много–пространственности тут вовсе не делается. Так, в прежние времена, чтобы спасти во что бы то ни стало евклидовское пространство, придумывали много разных imponderabilia — невесомых жидкостей, для каждого деятеля особая, и все они отличались особыми свойствами. Затем пестроту этих жидкостей старались уничтожить, сливая их все в единый эфир. Но тогда многообразие поведения должно было вернуться к пространству, и оказалось необходимым, чтобы спасти единство евклидовского пространства, приписание эфиру в отношении разных деятелей разных, друг другу противоречащих, свойств. Наиболее прямой, откровенный и сознательный исход, принимающий геометрию гак, как она в самом деле есть, был бы просто геометрический, т. е. различное поведение разных факторов относить к кривизне пространства, различной в отношении разных физических деятелей.

XVII

Следует для большей ясности дальнейшего пояснить эти соображения частными примерами, впрочем, частными лишь относительно, ибо они охватывают обширнейшие классы физических явлений[69].

XVIII[70]

«Если в случае дискретного (прерывного) многообразия основание определения меры заключается уже в самом понятии этого многообразия, то для непрерывного оно должно прийти извне. Поэтому то реальное, что лежит в основании пространства, или должно составлять дискретное многообразие, или же основания определений меры, должно быть разыскиваемо вне многообразия, в действующих и связывающих его силах». Так высказался об определении пространственных характеристик действующими в пространстве силами в 1854 году Бернгард Риман[71].

Эта мысль, столь блистательно ракрытая Эйнштейном, Вейлем и др., имеет однако смысл несравненно более глубокий и объем применения несравненно более широкий, нежели это делается, и то с значительными урезками, современной физикой. Эта узость есть отчасти пережиток механического миропонимания, которое соответственно и сузило геометрию. Так как все процессы были сведены к движениям механики, а силы —к механическим, то поэтому и геометрия стала наукою о пространстве механических движений. Между тем, постоянное наше пользование понятия пространства и пространственных отношений вовсе не только в одной механике и возможность пользоваться геометрией в областях иных, нежели группа движений хотя бы в той же физике, заставляет признать глубоко ошибочным, когда лишь механика признается единственной конкретной основою геометрии. Как уже было сказано, нет геометрии без конкретного опыта; но опыт этот может быть весьма многообразным и ни в коем случае не ограничивается одними механическими движениями.

Риман говорит о силах, связывающих и определяющих пространство, но весь вопрос, что именно разуметь под силою.

В механике сила определяется как причина ускорения. Ускорение же есть изменение движения, рассчитанное на единицу времени. Между тем, феноменологически, среди явлений природы, механическое движение вовсе не есть единственное существующее явление. Механическим движением действительность характеризуется, но очень односторонне и бедно. Наряду с этой характеристикой имеется бесчисленное множество других, а следовательно, приходится иметь в виду и изменение их, т. е. движение в широком, не механическом смысле, как употреблялось это слово в античности, например у Аристотеля. Далее же приходится тогда иметь в виду и причину такого изменения различных характеристик — пространств действительности. Общепринятый язык всегда называл и продолжает называть эту причину силою; сила тяжести, сила толчка, сила магнита, сила света, сила внимания, сила страсти, сила красоты и т. д. и т. д. За этим словоупотреблением {слова) сила стоит и общечеловеческое (понимание) всех этих и тому подобных деятелей, как причин некоторого изменения. Если угодно, можно обобщить тут закон инерции и закон пропорциональности силы и ускорения. В самом деле, мы мыслим всякую характеристику пребывающей так, как она есть, покуда на нее не воздействует какой‑либо деятель, который изменит ее, подобно тому, как изменяется механическая скорость от действия механической силы. Пребывание характеристики во времени, а течение вместе с временем можно понимать как скорость и называть, расширяя смысл этого термина, скоростью. Не было бы также и обоснованным назвать такое изменение характеристики ее ускорением, а причину изменения силою. При этом силы эти должны быть разных родов, как разнородны и самые характеристики. Есть силы более широкого применения, а есть и менее широкого, т. е. подчиняющаяся данной силе характеристика может быть свойственна более или менее обширным классам явлений. Однако нет ни одной силы всеобщей, и в отношении всякой найдутся явления, неспособные ускоряться ею.

XIX

Последнее обстоятельство чрезвычайно важно иметь в виду, когда пытаются разделить явления и силы на внешние, якобы безусловно всеобщие, и внутренние, характера субъективного, не имеющего выхода в мир, учитываемый научными приемами Деление это лишено достаточных оснований.

Поясним сказанное примером: камень, выпущенный из руки, получает ускорение по направлению к земле, причину этого ускорения мы называем силою тяжести. Пролетая мимо тяготеющей массы, камень отклонился бы от прямолинейного полета, и это искривление пути мы объясняем силою тяготения.