Этот словарик, если оставить сейчас нас мало занимающий столбец языка логистического, построен примерно так:

Точечная геометрия Линейная геометрия точка прямая прямая точка лежит проходит соединяет пересекает проходит лежит пересекает соединяет трехугольник трехсторонник трехсторонник трехугольник вершина сторона сторона вершина

Чтобы пояснить примером, как именно делаются эти переводы, возьмем четыре точки.

Соединяя их всеми возможными способами, мы получим шесть прямых: четыре стороны и две диагонали четырехугольника. Если теперь провести прямую, соединяющую точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, то диагонали засекут на этой прямой две точки, и они, как доказывается, будут гармоническими в отношении точек пересечения сторон. Из этой теоремы нетрудно вывести и двойственно сопряженную. А именно: возьмем четыре прямые (вместо четырех точек) и все шесть точек их взаимного пересечения (вместо шести прямых их соединения). Соединим теперь прямыми (вместо: возьмем точки пересечения) противоположные вершины: они пересекутся в одной точке (вместо соединения точек одною прямою). Тогда две другие точки пересечения противоположных сторон вместе с этой точкой определят две прямых (вместо пересечения в двух точках). Эти две прямые вместе с прежними диагональными прямыми образуют пучок, и пучок этот будет гармоническим.

Или вот еще пример: две чрезвычайно важные теоремы, Паскаля и Брианшона[95], были открыты независимо друг от друга и приблизительно на расстоянии двухсот лет; между тем, простым словесным переводом каждая из них превращается в другую. Теорема Паскаля относится к шестиугольнику: если имеется шесть точек на плоскости, то, соединяя прямою каждую из смежных пар (а какие пары считать смежными —это зависит от нашего произвола), мы получим шесть сторон шестиугольника, — хотя он может ничуть не походить на то, что в элементарной геометрии называется этим именем. Рассмотрим теперь точки пересечения пар противоположных сторон, т. е. в условленном порядке вершин — разделенных одною вершиною. Таким образом найдутся три точки пересечения. Теорема Паскаля состоит в том, что они лежат на одной прямой. Станем теперь переводить все сказанное на язык геометрии линейной. Итак, берем шесть прямых (вместо шести точек) и условливаемся о порядке их последовательности. Затем пересекаем их в порядке их последовательности (вместо соединения) и находим шесть вершин (вместо шести сторон). Противоположные вершины (т. е. разделенные одною стороною) соединяем теперь (вместо: пересекаем стороны) прямыми; найдутся тогда три прямые (вместо трех точек). Теорема Брианшона состоит в том, что все три прямые проходят чрез одну точку (вместо: лежат на одной прямой). Подобных примеров, как указано выше, можно дать в буквальном смысле сколько угодно, ибо любая теорема точечной геометрии может подвергнуться такому переводу на язык геометрии линейной. Но и на данных двух примерах достаточно ясно, что речь идет здесь отнюдь не о какой‑то тавтологии и даже не о том превращении, которое дается обратными теоремами; принцип двойственности ведет к геометрической истине существенно новой, и устанавливаемое им свойство геометрических образов, как наглядно представляемых, не имеет ничего общего с тем исходным, из которого было первоначально получено. Не зная принципа двойственности, об этом новом свойстве никоим образом нельзя было бы догадаться, и нужно было бы открывать его совершенно заново, как это, например, и случилось с Брианшоном.

XXXVI

В трехмерном пространстве принцип двойственности оказывается уже иным. Тут один из способов понимания пространства есть подход к пространству как точечному, а двойственно сопряженный ему подход считает первоначальным элементом пространства — плоскость. Тогда в приведенном выше словаре слово «прямая линия» должно везде быть заменено словом «плоскость», а производная от «прямая» или «сторона» — соответственными производными от «плоскость» или «грань»; так, вместо «многосторонник» надо поставить в словаре «многогранник» и т. п. Что же касается до прямой линии, то она тут есть образование всегда вторичное и определяемое либо соединением двух точек, либо пересечением двух плоскостей.

Поэтому при переводе с языка точечной геометрии на язык плоскостной и наоборот слово «прямая линия» и его производные остаются без перевода; не меняя своей фонемы, они терпят изменения семемы в силу произведенного перевода прочих слов. Таким образом, в пространственной двойственности прямая сама себе соответствует.

Как было уже указано, принцип двойственности может быть обобщен и на такое понимание пространства, в котором нет прямых, а есть лишь пути соединения некоторых областей, называемых здесь точками[96]. Но сказанного выше достаточно, чтобы дать понятие о формальнологическом значении двойственного подхода к пространству.

XXXVIII[97]

1924.111.30

Таким образом, основная задача изобразительного искусства на поверхности — организация пространства — может быть решена двумя подходами, близкими друг к другу формально, но глубоко чуждыми по ощущениям, лежащим в основе того и другого подхода. На одном пути изображаемое пространство мыслится осязательно и строится точками или пятнышками, а они в свою очередь определяют линию, но линии мыслятся тут как возможные пути движения, причем более или менее безразлично, осуществляются эти движения или нет. Напротив, при двигательном подходе к пространству, оно организуется линиями, и линии здесь — первичные элементы, активные и собою определяющие некоторые точки, как места возможных встреч, а потому и остановок осязанию. Но при этом безразлично, воспользуется ли на самом деле этими точками осязание, или нет. Иначе говоря, поверхности и объемы наглядно представлены здесь как образы двигательные, но с указанием до известной степени возможных осязаний; а при другом подходе, наоборот, поверхность и объемы представлены как образы осязательные, но с указанием возможных движений.

Но теперь осязаются вещи, а пространство дает простор движениям, как и наоборот, пространство не осязаемо, а в вещах как таковых нельзя двигаться. Отсюда понятно господство в каждой из названных двух ветвей искусства одной из двух сопряженных сторон действительности: живопись обращается преимущественно с вещами, а графика — с пространством. Живопись сродни веществу, графика же—движению.

Но мы видели уже неразделенность вещей и пространства и невозможность дать порознь либо вещи, либо пространство. Та и другая сторона действительности непременно присутствует в каждом из произведений как той, так и другой ветви изобразительного искусства. Склонность же этой ветви к той или другой стороне сказывается в соответственном истолковании другой стороны действительности. Так, и живопись может стремиться к растворению отдельных образов в целом, подчиняя их композиции, деформируя и переплетая. Тогда образы действительности теряют строгую раздельность; но не потому, что пространство произведения действительно стало крепко связанным и неразрывным. Напротив, тут лишь ослаблена внутренняя, органически конструктивная связность каждой вещи, самой в себе; до сих пор в них была еще двигательность, но теперь эти последние линии–связи выдернуты из образов и вместо многих отдельных вещей получилось бесчисленное множество отдельных вещиц. Теперь каждая часть вещи сама притязает быть вещью, каждое пятно, каждый мазок, каждая точка существует сама по себе, не связываясь движением с другою точкою, с другим пятном. Они все приблизительно равно действенны, по крайней мере —одного порядка действенности, и, поскольку имеется здесь известная равномерность их распределения по плоскости, нам кажется при поверхностной оценке, будто пред нами произведение, в котором пространство поглотило вещи. Но нет, скорее уже вещи, окончательно овеществившись и утеряв свою органическую конструкцию, расплылись по всему пространству и захватили его. Тут нет теперь вещей, но зато в полной мере господствует начало вещественности. Иначе говоря, пред нами не пространство, а среда. Твердость, в смысле сохранения формы, существует главным образом для восприятий двигательных, потому что осязанию, если брать его как предельно осторожное, и мягкое и твердое равно не поддаются. Поэтому искусство чистого осязания, притязающее дать пространство, на самом деле дает кашу, или жидкость, или пар, или воздух, —все что угодно, но наполненное веществом, и притом именно как наполненное. Эта среда может быть тончайшей — огнем или просто светом, но, будут ли изображены таким способом камни или духи, все равно они представлены здесь со стороны своей вещественности. Пока этого распространения вещества на все пространство еще не происходило, осязательные точки были содержанием внутренности вещей, веществом, из которого состоят вещи; а окружающее пространство было пусто и слабо. Когда же оболочка вещей окончательно обессилена, вещи растягиваются в пространстве, как дымовые призраки. И эти осязательные точки, вещественная начинка вещей, распространяются по всему пространству, вещество растекается по нему. Но от того пространство не делается сильнее.