(Дата в рукописи не указана)

Строение пространства характеризуется его кривизною. Мне очень совестно, что я надоедаю математическими понятиями, но я не вижу иного пути, чтобы подойти к проблемам эстетическим. То, что выработано современной математикой, может быть вполне перенесено в область эстетики, но, к сожалению, я не могу ссылаться на ее собственные понятия. Понятие кривизны позволяет еще досадить вам математикой.

Прежде всего, кривизна по отношению к одномерному пространству, т. е.(к) линии. Но тут это представляется вполне ясным. Если мы к какой‑нибудь точке этой кривой проведем касательную, то мы видим, что эта прямая отступает от касательной и она искривляется. Мерою искривления служит быстрота (удаления от) этой касательной. Для того чтобы измерить кривизну, нужно взять за единицу какую‑то постоянную кривизну, кривизну такой кривой, которая во всех точках одна и та же. Если я знаю радиус касательной (окружности), то он характеризует меру кривизны[225].

Если мы перейдем к пространству двух измерений, к поверхности, то тут понятие кривизны будет сложнее. По аналогии естественно было бы желать к этой кривой поверхности прикоснуться в искомой точке, некоторой сфере, которая бы и характеризовала эту кривизну. Но, вообще говоря, этого нельзя сделать. Кривая линия изгибается только в одном смысле, поверхность может изгибаться в двух смыслах. Она может быть изогнута только по направлению противоположному или еще изогнуться или не изгибаться. Если взять лист бумаги, вы его можете изогнуть. Следовательно, нельзя сказать, что радиус окружности, который соприкасается с соответственным сечением поверхности, будет везде один и тот же, что кривизна по всем направлениям будет одна и та же.

Нужно бы вписывать некоторый эллипсоид или, так как выяснено, что по некоторому определенному направлению кривизна является наибольшей, а по другому — наименьшей, то Гаусс предложил за меру кривизны брать произведение из двух радиусов 1/R1 R2. Это для так называемой гауссовой кривизны поверхности. Она меняется от точки к точке.

Для того чтобы более ясно себе представить понятие кривизны для трехмерного пространства, мы должны обратиться к одному принципиальному рассмотрению. Обычно понятие кривизны для трехмерного и многомерного пространства определяется геометрически, но можно построить иначе понятие кривизны, которое будет иметь определенный смысл. Для этого мы вернемся к кривизне поверхности, т. е. кривизне двухмерного пространства. У вас есть сфера и имеется на плоскости некоторый треугольник. Представьте себе дальше, что стороны этого треугольника состоят из некоторых гибких, но нерастяжимых нитей. Как бы вы ни изменяли отдельно каждой стороны, треугольник останется неизменным. Вы измерили площадь треугольника, сосчитали, сколько в нем квадратиков, весьма малых. Или, еще иначе: если бы вы сделали низенькие бортики, вы могли бы налить туда жидкости и по объему определить поверхность, зная высоту. Представьте, что треугольник накладывается на сферу. Тогда стороны его искривляются. Получается сферический треугольник. Так как мы сказали, что стороны состоят из нерастяжимых нитей, то длины их останутся неизменными. Но треугольник деформируется, следовательно, углы его изменятся, и величина поверхности не будет той, как была прежде.

Если бы теперь мы опять так наложили на этот треугольник весьма маленькие квадратики или налили бы воды так, чтобы она не слилась, то вы бы могли изменить площадь треугольника. Теперь она будет менее, чем раньше. Если бы ваша сфера была чрезвычайно велика в сравнении с треугольником, то изменение поверхности и деформация треугольника остались бы почти незаметными. Это потому, что кривизна сферы была бы чрезвычайно мала и была бы близка кривизне плоской поверхности, т. е. чем кривее будет сфера, тем больше деформируется треугольник и тем больше будет отступать его площадь от той величины, которая была на плоскости. Изменением площади характеризуется степень искривленности поверхности, но так как у треугольника площадь может быть сама по себе больше или меньше, то мы должны были взять не просто разность этой и той плоскости, а взять эту разность, отнесенную к единице площади. Это характеризовало бы степень искривленности сферы.

В сущности это будет теорема, данная Гауссом:

где dt — весьма маленький кусочек поверхности треугольника, К— степень искривленности. Получается разность, равная сумме углов на сфере минус π, сферический избыток треугольника. Что это значит? Это значит, что сферический избыток, т. е. изменение суммы углов против суммы углов на плоскости — степень деформированное™ треугольника, накопляется на каждом элементе его поверхности. Если бы мы наливали воду, то оттого что К в какой‑то точке будет больше соответственного участка треугольника участвующего значительно в этой сумме и потому эта разность конечная была бы соответственно больше. Почему? Потому что деформируется треугольник, потому что меняется емкость того или другого места треугольника.

Рис. 11

Кривизна двухмерного пространства характеризуется его емкостью. Если мы говорим о сфере, тогда кривизна всюду постоянна. Кривизна равна сферическому избытку треугольника, т. е. степени изменения его углов, деленному на его поверхность, отнесенной к единице поверхности. Если бы кривизна поверхности была разной в разных местах, то мы могли бы взять весьма малый треугольник и взять его среднюю емкость поверхности. Таким образом мы могли бы построить понятие о кривизне пространства.

Вместо треугольника возьмем тетраэдр. И его мы представим себе построенным из нерастяжимых нитей. Эти стенки затянуты пленками, которые будут плоскими, но гибкими, наподобие резины. Если налить жидкости, то эта жидкость, вода, например, будет иметь определенный вес или будет занимать определенный объем. Мы этот тетраэдр начали искривлять так, чтобы длины его ребер оставались бы неизменными, углы его при этом исказятся. Объем его должен измениться. Сумма углов тетраэдра будет 4π, т. е. четыре прямых угла. Отступление это А от четырех π — это разность, которую мы можем назвать шаровым избытком, она будет характеризовать собою степень деформации тетраэдра. Она накопляется на каждом элементе объема, в одних местах интенсивнее, а в других нет. Коэффициент накопления будет К. \K(dx)=Α -4π=сферическому избытку. Тетраэдр искривляется, объем его изменяется, часть воды вытечет или наоборот. Количество подлитой или вытекшей воды, отнесенное к объему, будет характеризовать степень его деформации, т. е. кривизну данного пространства в среднем. Если она постоянна, то это будет кривизна самого пространства.

Так мы подойдем к весьма крупному понятию, понятию кривизны трехмерного и многомерного пространств. Это понятие есть характеристика удельной емкости пространства. Пространства могут обладать различной емкостью, и она может меняться от точки к точке. В одних местах пространство емко, в других нет. У вас естественно рождается вопрос о косвенном дополнении. Емко по отношению к чему? Мы говорили о воде, но, как мы выяснили раньше, понимание пространства и то и другое охарактеризование его зависит от того явления, от того физического процесса, который мы полагаем в основу измерения. Тут мы сразу переходим к области, нас интересующей непосредственно.