§ 112. Трансцедентное число (в связи с трансцедентными функциями).

1. Линдеман обобщил бывшую до него теорему о невозможности для числа е быть корнем уравнения, в котором коэффициенты и показатели являются целыми рациональными числами. А именно, он доказал, что в этом случае коэффициенты могут быть любыми, а показатели — различными между собою алгебраическими числами. Частным случаем этой теоремы Линдемана оказывается то, что в уравнении

ех = а

числа х и а не могут быть одновременно алгебраическими числами (кроме х = 0, т. е. а= 1). Иначе е в алгебраической степени было бы алгебраическим числом, что после теоремы исключается. Значит, если мы имеем показательную функцию от алгебраического аргумента, то она оказывается числом трансцедентным. Точно так же натуральный логарифм алгебраического числа обязательно есть тоже трансцедентное число. Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что ω1, где ω—алгебраическое число, тоже трансцедентно [899]. Но из соотношения 1+ eni = 0 следует, что (—1)' = е–n. Следовательно, по Гельфонду, е–п тоже трансцедентно. Но тогда трансцедентно и еп.

2. Все эти заключения (и подобные им) таят под собою ряд неосознанных интуиций, без вскрытия которых невозможно философское понимание предмета.

а) Прежде всего зададим себе вопрос: что значит вообще степень Трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже, в § 118, возведение числа в степень есть его алогический органический рост. Возвести число в степень—это значит повторить его как именно его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его самого в каждом отдельном моменте. Органический рост, это и есть возведение в степень. Но как же это возможно в отношении трансцедентного числа? Ведь трансцедентное число уже вмещает в себе все свое инобытие, т. е. все свои возможные инобытийные самовоспроизведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут мы должны вспомнить, что трансцедентное число вовсе не есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной. Трансцедентное число есть переполнение числа своим инобытием, излияние числа в инобытие, выразительная эманация числа. Отсюда— степень трансцедентного числа только и можно понимать как результат его эманации в инобытии, т. е. как установление какого–нибудь нового числа, инобытийного в отношении данной трансцедентности.

b) Рассуждая таким образом, мы можем получить—в качестве результата эманации трансцедентного, — во–первых, опять все такое же трансцедентное число. Что это значит? Это значит, что из данной трансцедентности эманировало бытие, которое, ставши таковым (т. е. инобытием в отношении данной трансцедентности), само возымело в свою очередь трансцедентные особенности и само стало способным к порождению эманаций. Результатом эманации может быть, во–вторых, и алгебраическое число. Когда трансцедентное число возводится в трансцедентную степень, мы получаем алгебраическое число. Повидимому, тут происходит двойная эманация: с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая, инобытийная, а с другой— поскольку первоначальная трансцедентность возводилась в трансцедентную же степень, то данной эманации хватило не только на продуцирование новой трансцедентности, но и на дальнейшее продуцирование еще алгебраического числа из этой новой трансцедентности. Наконец, результатом эманации может быть и комплексное число. Здесь мы, кажется, тоже имеем дело с двойной эманацией, когда эманированный продукт не только есть инобытие, трансцедентное или алгебраическое, но это инобытие еще и приняло новую форму, именно комплексную.

Итак, та или иная степень трансцедентного числа е есть не что иное, как тот или иной результат эманации числовой трансцедентности.

Изучим некоторые явления из этой области.

3. а) Число е, возведенное в вещественную степень и легко представляемое в виде бесконечного ряда типа Маклорена, для нас менее интересно. Гораздо интереснее здесь мнимые степени. Возводя трансцедентное число в мнимую степень, мы не получаем никакой несуразности и никакого бесполезного нагромождения схоластических терминов, как это всегда кажется неискушенным в диалектике мыслителям. Тут на помощь приходит сама математика, давая замечательные построения в виде Эйлерового представления тригонометрических функций с ίίόмощью мнимых степеней е. Схоластика оборачивается рядом самых обыкновенных и даже самых элементарных математических построений.

b) Именно, если мы возьмем exi, разложим его в ряд, отделим вещественные и мнимые члены, то вещественная часть окажется не чем иным, как разложением cosx, а коэффициент при мнимой части—не чем иным, как разложением sin*; и мы, таким образом, получаем:

exi=cos x + I sin x.

Уже это одно замечательное построение способно вызвать у философствующего некоторый восторг ума. В самом деле, ведь мы же только возводили е в мнимую степень. Откуда же это вдруг всплыли тригонометрические функции?