Отсюда

если η есть количество удвоений сторон вписанного w–угольника. Если сторона квадрата равняется r√2, т. е., по условию, √2, а, следовательно, площадь его = 2, то отсюда легко вычисляется и само π, равное, как известно, 3,14159265…

с) Это представление π как площади круга с радиусом, равным единице, подчёркивает в π момент выявленности внутреннего содержания, как бы дорастания его до степени явленности, до степени полной и законченной очерченности. Единица в диалектическом смысле есть полагание как таковое. Провести окружность каким бы то ни было радиусом—значит дать некую фигурность, ориентированную на неви–г димый центр, и притом так, что каждый момент этой фйгурности ориентирован совершенно одинаковым образом и фигурность возвращается сама к себе, будучи некоей самодовлеющей явленностью. Провести же окружность радиусом, равным единице, — значит получить фигурность, которая своей внутренней сущностью призвана к тому, Чтобы демонстрировать самодовлеющую явленность энергийной единичности, как бы ее обтекающую выраженную полноту, эманативнофигурную ограниченность и скомпонованность или, если угодно, внешнюю размерность. Число π демонстрирует нам то постоянное отношение, которое существует между этой внешне–эманативной размерной полнотой и внутренним содержанием этой полноты. В наивной форме это и понимается в математике как «предел отношения окружности к диаметру».

Позже мы не раз столкнемся именно с такой интуицией, лежащей в основе построения числа.

d) Между прочим, трансцедентность числа π, в логическом смысле, яснейшим образом вытекает из понимания его как некоей предельной площади. В последнем из приведенных математических выражений мы, с одной стороны, имеем бесконечный рост количества сторон вписанного многоугольника, с другой стороны—бесконечное нарастание его площади. Эти две бесконечности вплетены одна в другую, и потому их результат есть становление становления в пределе, т. е. число трансцедентное.

§ 112. Трансцедентное число (в связи с трансцедентными функциями).

1. Линдеман обобщил бывшую до него теорему о невозможности для числа е быть корнем уравнения, в котором коэффициенты и показатели являются целыми рациональными числами. А именно, он доказал, что в этом случае коэффициенты могут быть любыми, а показатели — различными между собою алгебраическими числами. Частным случаем этой теоремы Линдемана оказывается то, что в уравнении

ех = а

числа х и а не могут быть одновременно алгебраическими числами (кроме х = 0, т. е. а= 1). Иначе е в алгебраической степени было бы алгебраическим числом, что после теоремы исключается. Значит, если мы имеем показательную функцию от алгебраического аргумента, то она оказывается числом трансцедентным. Точно так же натуральный логарифм алгебраического числа обязательно есть тоже трансцедентное число. Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что ω1, где ω—алгебраическое число, тоже трансцедентно [899]. Но из соотношения 1+ eni = 0 следует, что (—1)' = е–n. Следовательно, по Гельфонду, е–п тоже трансцедентно. Но тогда трансцедентно и еп.

2. Все эти заключения (и подобные им) таят под собою ряд неосознанных интуиций, без вскрытия которых невозможно философское понимание предмета.

а) Прежде всего зададим себе вопрос: что значит вообще степень Трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже, в § 118, возведение числа в степень есть его алогический органический рост. Возвести число в степень—это значит повторить его как именно его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его самого в каждом отдельном моменте. Органический рост, это и есть возведение в степень. Но как же это возможно в отношении трансцедентного числа? Ведь трансцедентное число уже вмещает в себе все свое инобытие, т. е. все свои возможные инобытийные самовоспроизведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут мы должны вспомнить, что трансцедентное число вовсе не есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной. Трансцедентное число есть переполнение числа своим инобытием, излияние числа в инобытие, выразительная эманация числа. Отсюда— степень трансцедентного числа только и можно понимать как результат его эманации в инобытии, т. е. как установление какого–нибудь нового числа, инобытийного в отношении данной трансцедентности.