с) И вот, кватернионы есть арифметический аналог именно выраженного пространства, четырехмерного пространства. Это—выраженное число. И мы вспоминаем здесь нашу общую позицию, занятую в исследовании природы алгебраического, трансцедентного и гиперкомплексного числа, позицию энергийно–эманативного выражения. Но в трансцедентном числе эта выраженность только начала проявляться как конкретный образ (покамест еще плоскостной), а в алгебраическом она и вовсе только еще потенция. Зато в гиперкомплексном числе, в кватернионе, она стала законченной, фигурно осмысленной, выраженной действительностью.

2. а) Именно, здесь мы получаем одну вещественную прямую, которая и по направлению и по абсолютной величине оказывается носительницей четырехмерного пространства. Поскольку в кватернион входит три мнимых единицы, плоскость, пространство и четырехмерное пространство не даны тут сами по себе, вещественно, отдельно от заданной вещественной прямой. Но эта последняя отражает на себе и плоскость, и трехмерное пространство, и деформацию в связи с четырехмерностью. Мы имеем одну вещественную прямую или один и единственный вещественный вектор, который, однако, несет с собою четырехмерную значимость. Вспомним, что называется модулем обыкновенного комплексного числа. Это—абсолютная величина того радиусавектора, который указывает направление комплексной точки плоскости по отношению к началу координат. Его можно получить, рассматривая обе части комплекса как катеты прямоугольного треугольника; его можно получить и как квадратный корень из произведения сопряженных комплексных чисел. Тут он равняется√a2 + b2. Аналогично для кватерниона мы имеем величину τ=√a1 + b2+с2 + d2, называемую тензором кватерниона. Она играет первостепенную роль во всем учении о четырехмерном пространстве.

b) Чтобы понять логическую сущность тензора, будем исходить из определения модуля обычных комплексных чисел. Модуль комплексного числа есть квадратный корень из произведения самого числа на сопряженное с ним. Во–первых, что значит a—bi—число, сопряженное с а+b? Понимать его надо, конечно, векторно, как и вообще комплексное число. Но это значит, что в данном случае линия мнимостей имеет обратное направление. Направление для нас имеет только единственный диалектический смысл: это—вид становления. Следовательно, постулируя для всякого комплексного числа сопряженное с ним, мы постулируем просто возможность противоположных направлений становления. Но что же дальше?

Дальше мы наблюдаем судьбу нашего вещественного отрезка А В после того, как он вернулся в комплексную область, т. е. после того, как ОН'подвергся воздействию упомянутого становления. Раньше, будучи всецело вещественным, он давал нам определенное протяжение, равное а * вещественным единицам. Теперь, взявши ту или иную точку С на плоскости, мы видим, что расстояние АС совсем иное, чем АВ. АВ претерпело растяжение (или укорочение, что в данном случае безразлично), и это растяжение определяется положением выбранной нами точки на плоскости. Наш отрезок АВ повернулся на определенный угол и растянулся. Всмотримся в это растяжение.

Оно есть не только результат увеличения длины отрезка, но и результат поворота его на определенный угол. Но мы отвлечемся пока от этого поворота и будем рассматривать растяжение независимо от направления. Чтобы эта независимость от направления была не просто абстрактным допущением, но еще была и диалектически понятна, надо реально взять два противоположных направления и допустить, что это растяжение одинаково там и здесь. Если для взаимно противоположных направлений растяжение останется одним и тем же, то это и будет гарантией того, что растяжение действительно не зависит ни от какого направления вообще. Но как это сделать? Очевидно, необходимо допустить, что растяжение находится в одном и том же отношении к противоположным направлениям, что соотношение растяжения и направления в общем случае совершенно тождественно с этим же соотношением в другом случае. Другими словами, растяжение есть не что иное, как среднее геометрическое между числами, связанными с взаимно противоположными направлениями. Но числа с взаимно противоположным направлением и есть сопряженные комплексные числа. Отсюда и вытекает, что модуль (т. е. абсолютная величина) комплексного числа есть квадратный корень из произведения комплексного числа на сопряженное с ним.

Следовательно, определение модуля через сопряженные элементы есть в диалектическом смысле фиксация растяжения вещественного отрезка при данном переходе его в комплексную область, которое берется в аспекте полной независимости этого отрезка от всякого направления в комплексной области.

c) Теперь станет понятной и философская сущность тензора. Тензор кватерниона играет в четырехмерном пространстве, очевидно, ту же самую роль, что модуль комплексного числа в двухмерной области. «Тензор» значит «растягиватель». Одно растяжение мы получаем, когда переходим от линии к плоскости, т. е. отражаем плоскость на линии. Другое растяжение образуется при переходе в пространство. Но ведь мы представляем себе, что трехмерное пространство определенным образом выражено. Это значит, что мы соотносим его с четвертым измерением, хотя и не перешли в последнее в вещественном смысле, а только зафиксировали его на вещественном отрезке как мнимое. Тогда, следовательно, наше растяжение вещественного отрезка усложнится еще более, и—мы получим понятие тензора. Тензор одним махом охватывает всю деформацию, которая происходит с вещественным отрезком, когда он отображает на себе четырехмерное пространство.

d) Разумеется, соответствующее изменение получает и направление. На плоскости мы уже имеем определенный угол, на который повернулся наш отрезок. Полученное таким способом направление меняется в свою очередь при воздействии новой мнимой единицы, а эта трехмерная направленность усложняется еще дальше, когда заходит речь о третьей единице. Кватернион, таким образом, уже взятый сам по себе, гласит о тройном процессе растяжениями тройном процессе поворота данного вещественного отрезка прямой, причем поскольку он есть комбинация четырех разнонаправленных единиц, то и другое мыслится еще переносимым из одной области в другую (из одной системы координат в другую). Кватернион, таким образом, есть просто отрезок в четырехмерном пространстве, который вещественно явлен как определенная система растяжений и поворотов.

3. а) Особенно просто и рельефно это можно видеть на умножении кватернионов. Если сумма двух кватернионов не представляет собою ничего особенного, кроме обычного для комплексных чисел раздельного сложения вещественных и мнимых частей

q+q'={d+d')+i(a+a')+j(b+b')+k{c+c'),

то умножение кватернионов весьма интересно, хотя и аналогия его с векторным умножением вообще вполне очевидна. Так как векторное умножение обыкновенных комплексных чисел значительно проще, то вспомним сначала его.

ОМ и ON—два вектора, соответствующие двум разным комплексным числам. Требуется их перемножить. Так как умножить—значит повторить множимое столько раз, сколько единиц во множителе, то отложим на линии χ вектор Οβ, равный единице, и построим на линии ON треугольник OPN, подобный треугольнику OMQ. Тогда ОР будет как раз составлено из ОМ так, как ОМ составлено из OQ= 1. Или— ОР:ОМ=ОМ: 1, откуда

О Ρ=rr'; L POQ = L PON+ L NOQ,

что при LΜΟQ = φ и LMOQ = φ' и, ввиду подобия указанных треугольников, при LPON= LMOQ = φ дает