3. Необходимо отметить следующее. Основное место арифметического действия есть то становление, которое есть синтез натурального ряда как бытия и типов числа как инобытия. Но это только основное место. Другими словами, здесь впервые рождается арифметическое действие как отвлеченная категория. Арифметическое действие само по себе, однако, не есть просто категория. Оно есть именно действие, и потому в нем всегда живет та или другая практически–жизненная сложность. Эта сложность для диалектика есть, конечно, опять–таки не что иное, как нераспутанный клубок многочисленных категорий. И если эта сложность действительно жизненная, то клубок категорий всегда в конце концов целесообразно распутывается, и запутанное предстает во всей своей смысловой ясности. Мы и тут применим наши обычные методы и попробуем поискать, не зарыта ли и в каждом отдельном действии та первообразная пентада, которую мы имели в общей теории числа.

4. Итак, формулируем перво–прищип арифметических действий, их принцип и их реальную структуру.

а) Перво–принцип арифметических действий, насколько последние вытекают из синтеза натурального ряда со всевозможными типами числа вообще, есть, очевидно, разноскомбинированное числовое становление. Натуральный ряд чисел, или, что то же, арифметический счет, в своем наиобщем виде есть простейшее и примитивнейшее становление чисел вообще. Он содержит в себе некую единонаправленную, монотонную энергию становления. Со вступлением в синтез с разными типами числа он начинает нарушать эту единую направленность становления, начинает вырывать из этой стихии числового становления отдельные куски, отдельные отрезки и начинает по–разному их комбинировать. Это и превращает счет вообще в то или иное арифметическое действие. Следовательно, перво–принцип арифметических действий есть разнонаправленное, разнокомбинируемое числовое становление, или, попросту, так или иначе кодифицированный счет. Этот первопринцип 1) требует наличия разных отрезков общечислового становления, 2) полагает их вместе один за другим как некую единую последовательность и 3) постулирует то или [иное] взаимоотношение, в которое должны вступить взятые отрезки. Таковы функции перво–принципа.

Заметим, что если арифметическое действие есть синтез натурального ряда (счета) и числовых типов, то это значит, что здесь счет рассматривается для целей получения того или иного числа и число того или иного типа рассматривается с точки зрения происхождения его из операций счета. Но число того или иного типа в сравнении со счетом (который всегда есть процесс) является чем–то стабильным. Поэтому арифметическая операция, будучи процессом, должна быть ввиду своей синтетичности и чем–то стабильным. Она есть всегда и метод становления, и определенный результат различного методического комбинирования этого становления. Вот почему существует не только категория «плюс», но и «сумма», не только «минус», но и «вычитание» и пр. И вот почему перво–принцип арифметических действий обязательно требует сопоставления разных становлений и искания стабильных результатов этого сопоставления.

b) Каков же принцип арифметических действий? Принцип отличается от перво–принципа тем, что рисует реальный переход к каждому отдельному действию, в то время как перво–принцип говорит о всех действиях как о чем–то неделимом. Другими словами, принцип арифметического действия раскрывает содержание третьего момента первопринципа из только что указанных. В самом деле, в каком же реальном взаимоотношении находятся эти сопоставленные лицом к лицу отрезки общечислового становления?

Во–первых, мы не можем оставить [их] в том раздельном виде, в каком они нам предъявлены, и только говорить об их смысловом единстве. Будучи один в отношении другого инобытием, эти разные отрезки становления, однако, непосредственно примыкают друг в отношении к другу уже в силу перво–принципа. Перво–принцип вырвал из натурального ряда несколько разных чисел и приставил их друг к другу, предоставивши судить об их дальнейшем взаимоотношении уже более конкретным принципам. И вот первое и простейшее, что может появиться с точки зрения диалектики, — это оставить их в такой взаимосопоставленности и только пробовать объединять или разъединять их по их смыслу, т. е. по их количественному содержанию. Отбросим эти числа как факты, как некоторые акты полагания, потому что по актам полагания, по их фактической положенности мы примем их в их непосредственном взаимоследовании. Но зато мы будем судить о них в таком раздельном, но непосредственно–смежном положении—об их различии и об их тождестве. И что тогда получится, какой тогда возникнет результат? Это отождествление или различение двух раздельных, но непосредственно–смежных становлений есть сложение или вычитание.

Во–вторых, совсем необязательно оставаться при таком взаимопротивопоставлении разных отрезков общечислового становления, да притом еще с таким внешнесубстанциальным противостоянием, когда оба они во всех смыслах чужды один другому и определенно отрицают один другого. Можно поставить вопрос: нельзя ли их сблизить между собою, нельзя ли их различать и отождествлять так, чтобы эти различения и отождествления относились не просто к их смыслу без всякого внимания к их несовместимости по факту, но так, чтобы этим затрагивалось и их фактическое существование, чтобы не только смысл их бытия, но и бытие их смысла стало в той или другой мере единым?

Диалектика знает много разных видов такого взаимопроникновения бытия и инобытия. Самое элементарное—это то, когда бытие просто повторяет себя в инобытии. Несомненно, это гораздо большая близость между бытием и инобытием, чем в том случае, когда они противостоят одно другому как несводимые друг на друга факты. Тут в инобытии, оказывается, уже нет ничего такого, чего не было бы в бытии, потому что единственная функция инобытия в таком случае— это повторять бытие, воспроизводить бытие. Ясно, что тут одних категорий тождества и различия будет мало. Тут надо реально перейти из бытия в инобытие, чтобы воспроизвестись в этом последнем. Тут нужны, очевидно, категории движения и покоя. И если в первом случае бытие и инобытие оказывались одно в отношении другого внешними, то тут, когда одно воплотилось на другом, они связаны уже внутреннеинобытийными связями. В том результате, который получен после воспроизведения бытия в инобытии, последнее стало для бытия чем–то внутренним, вошло в его плоть и кровь. Отождествление между бытием и инобытием стало тут не внешнеинобытийным, но внутреннеинобытийным. И вот это взаимоотношение нескольких становлений, когда они переходят друг в друга в порядке подвижного покоя, есть умножение и деление.

В–третьих, необходимо мыслить и еще дальнейшее, уже окончательное взаимопроникновение двух сопоставленных отрезков становления. В самом деле, функции рассмотренного нами инобытия ограничивались у нас только простым воспроизведением бытия; одно становление воспроизводило другое. Но не есть ли это умаление против инобытия? Ведь ясно, что в данном случае инобытие выступает только как некая фактическая сила воспроизведения чего–то другого, внешнего в отношении себя самой; и оно совсем не выступает здесь как конкретная индивидуальность, как некое смысловое содержание. Другое дело было бы, если бы оно так отождествилось с бытием, что вложило бы в него и мощь своего факта, т. е. воспроизвело бы его со всем его содержанием, и мощь своего смысла, т. е. вложило бы в воспроизводимое им Содержание бытия И свое собственное содержание. Это возможно только в том случае, если бытие будет воспроизводиться не вообще, ни в каждом отдельном своем Моменте, когда его целое будет присутствовать в инобытии не просто как единый неделимый факт, но когда оно будет содержаться и в каждом отдельном моменте его инобытийного тела, полученного им как раз от инобытия при своем воспроизведении в нем. Тогда инобытие будет участвовать здесь не просто как голый факт, но и все его содержание воспроизведет на себе некую целостность, неразрывную с воспроизводимым целым как таковым. Другими словами, из механизма оно станет организмом и тем спасет себя не как факт, но и как смысл и не как механический смысл, но и как живую материю. Это взаимоотношение нескольких разных становлений, когда они переходят друг в друга в порядке субстанциального отождествления, есть возведение в степень или извлечение корня.

Таковы принципы арифметических действий.

с) Наконец, рассмотрим реальную структуру арифметических действий или, точнее, принцип структуры арифметических действий. Только что мы рассматривали принцип арифметических действий как некоторых категорий диалектики. Но арифметическое действие, как мы сказали в п. 3, не есть только категория. Оно есть еще и определенная живая структура, живой образ. Спрашивается: каков же принцип построения этой структуры и этого образа?

Поскольку сейчас нам уже не надо выводить самих принципов арифметических действий (они уже выведены) и не надо, следовательно, фиксировать спецификум каждого отдельного действия, мы можем (и должны) применить здесь только нашу общедиалектическую схему всякой структуры вообще, и прежде всего числовой структуры (§ 31). Другими словами, каждое действие будет для нас каким–то бытием, переходящим в свое инобытие и забывающим себя в алогическом становлении, после чего оно вдруг прекращает свое беспредельное становление, останавливается, превращается в ставшее, и мы начинаем видеть его смысловые струи, изливающиеся на новое, теперь уже на всякое инобытие, т. е. начинаем видеть его образ, его выраженную форму, его энергийно–эманативный образ. Никакого иного принципа для структуры арифметического действия мы не знаем в настоящем исследовании, поскольку он был проведен еще в самом начале, в сфере первоначальных установок самого понятия числа вообще. Нет оснований менять его и для отдела об арифметических действиях.

5. Относительно арифметических действий надо особенно бояться традиционной математической самоуверенности. Действительно, что может быть проще сложения и вычитания, умножения и деления? Но эта–то простота и соблазняет. Думают, что тут и понимать–то нечего. Между тем проблема арифметических действий, я бы сказал, — одна из довольно тонких проблем диалектики. И приходится очень долго и очень мучительно размышлять» на разные лады, чтобы добиться ясной диалектической систематики в этой проблеме. Можно даже утверждать, что на таких–то проблемах, которые не загромождены никаким математическим аппаратом, легче всего проверять достоинства и недостатки применяемой у нас методологии. В математически сложных вещах еще можно сомневаться, достаточна или нет эта методология. Но там, где математика не представляет трудностей, а самая конструкция оказывается центральной по своей значимости (а таковы именно и есть арифметические действия), там яснее всего ценность или применимость данной методологии.

Перейдем теперь к самому предмету.