§ 116. Сложение и вычитание[913]

1. Сложение и вычитание характеризуются прежде всего равноправием моментов, из которых они состоят. В то время как, напр., в умножении существенной и основной темой является множимое, множитель же только повторяет множимое известное число раз и в результате появляется опять–таки прежнее же множимое, хотя и в несколько раз увеличенное, — в сложении и вычитании нет такого неравенства смыслового содержания чисел, и последние здесь существенно равноправны. Если сумма складывается, напр., из трех слагаемых, то все три слагаемые хотя и могут отличаться между собою чисто количественно, но это различие не идет дальше чистой количественности. Эти слагаемые как бы лежат на одной плоскости; и процесс сложения только в том и заключается, чтобы взять эти слагаемые вместе, взять в таком виде, как они даны, применивши к каждому из них совершенно одинаковый метод. В умножении множимое и множитель входят с совершенно различным смысловым содержанием; множитель обозначает совсем не то, что обозначает множимое, — помимо уже чисто количественного их различия. Точно так же и в вычитании операция над числами происходит как бы на одной и той же плоскости. Можно сколько угодно складывать и вычитать; и все прибавляемые и вычитаемые единицы будут совершенно равноправны по своему смысловому и оперативному содержанию. Другими словами, сложение и вычитание не переводят чисел в новое инобытие, новое—по сравнению с теми их элементами, которые уже даны с самого начала.

В сложении и вычитании дано только основное, внутричисловое (если иметь в виду сумму) инобытие, без которого не мог бы осуществиться и самый счет, а именно чисто количественное инобытие (хотя самые слагаемые одно в отношении другого внешнеинобытийны). Никакого другого инобытия не требуется для сложения и вычитания чисел. Поэтому если понимать число и счет, необходимый для числа, как тезис, то сложение и вычитание не переходят ни в какой антитезис; и вся картина разыгрывается в пределах счетного тезиса.

2. Что же происходит в пределах этого числового и счетного тезиса и что делается с этими равноправными числами, из которых составляется сумма или разность?

а) Ясно, что сложение и вычитание, равно как и все прочие действия, суть некоторые функции числового смысла, которые надо назвать силами, или энергиями. Сложение и вычитание есть прежде всего некий смысловой акт, активная направленность к определенному результату. В процессе складывания и вычитания мысль нечто активно полагает, активно разделяет и соединяет, суммирует. В этой активной напряженности сложение и вычитание ничем еще пока не отличаются от прочих действий, но с этого общего положения необходимо начать. Сложение и вычитание есть некая смысловая энергия. Точнее сказать, все арифметические действия суть не смысловая энергия, но смысловое становление, как это дедуцировано выше в проблеме натурального ряда. Однако становление в данном случае, как мы уже знаем, конструирует только самую категорию арифметических действий. Конкретное же выполненное действие, напр. решенная задача, есть уже такое становление, которое определенным образом стало и в этом своем ставшем виде определенным образом оформилось. Тут уже переход на ту ступень, которую в общей диалектике мы именуем смысловой энергией.

b) Какая же это смысловая энергия? Это не есть просто энергия счетной природы числа, ибо, сосчитывая единицы в числе, мы не нуждаемся в понятии плюса или минуса, равно как и суммы или разности. С другой стороны, смысловая энергия, рождающая счет, налична и во всех других действиях. Нельзя также сказать, что это есть энергия объединения или разъединения. В умножении, напр., безусловно содержится элемент объединения единиц, полученных в результате увеличения первоначально заданного множимого. Решительно во всякой числовой операции счет, а след., объединение и разъединение единиц содержится или в чистом виде, или в виде некоторой своей модификации. Какая же разница между простым пересчетом единиц, напр. в 10, и между складыванием 6+4=10?

c) Разница эта заключается в следующем. Когда мы просто считаем от 1 до 10, то, переходя от 6 к 7, мы совершенно не задаемся вопросом о том, можно ли присоединить к 6 еще одну единицу и перейти к 7. Необходимость и возможность этого перехода уже заранее обусловлена для нас самим понятием натурального ряда и понятием счета, который строится именно как постоянное и бесконечное увеличение любого числа на ту или иную единицу. Когда же мы складываем 6+4, то при переходе от 6 к 7 мы необходимо ставим вопрос: можно ли в данном случае переходить от 6 к 7 и далее? Если стоит плюс, то такой переход возможен; если же его нет, то мы еще не знаем, к какому числу надо переходить и надо ли вообще переходить. Итак, плюс есть смысловая энергия числа, впервые делающая возможным переход от одной единицы к следующей за ней, т. е. внешней по отношению к ней.

d) Но почему факт перехода делается возможным? Он делается возможным потому, что в сложении мы поставляем складываемые единицы на одной плоскости, приравниваем путь пересчета единиц внутри одного числа к пути пересчета единиц внутри другого числа, делая один путь продолжением другого пути, хотя они внешне–инобытийны один в отношении другого. Мы ничего не меняем в самих складываемых числах, ни в их количественном содержании, ни в какой бы то ни было другой их интерпретации. И все–таки нечто новое мы устанавливаем, когда решаемся в вышеуказанном примере от 6 перейти к 7, чтобы совершить операцию 6+4= 10. Если это новое не касается ни количественной стороны чисел, ни их общей интерпретации, то оно может касаться только места, взаимного положения этих чисел, а именно мы вдруг узнаём, что можно и нужно от 6 перейти к 7, от 7 к 8 и т. д. до 10. Но положение, или место, чего–нибудь не есть само это «чтонибудь». «Что–нибудь», или «нечто», находится «где–нибудь»; и чтобы находиться «где–нибудь», должно [быть] какое–нибудь иное, инобытие—в отношении того, что находится или помещается где–нибудь. Чтобы идти, должен быть путь, пространство, по которому можно было бы идти; и это пространство необходимо должно быть чем–то иным, а не самой вещью, движущейся по пространству, ибо иначе невозможно было бы и само движение. Стало быть, знак «плюс» указывает на отождествление инобытия, по которому движется одно слагаемое, с инобытием, по которому движется другое слагаемое.

e) Надо четко представлять характер функционирующего здесь инобытия. Инобытие налично как внутри самого числа, так и вне его. Есть ли то инобытие, которое необходимо сложению и вычитанию, внутри–числовое или вне–числовое? Когда мы складываем 6+4=10, то о каком инобытии идет речь, когда мы мыслим себе шестерку? Мы тут пересчитываем единицы внутри самой шестерки и не нуждаемся в том, чтобы всю шестерку помещать в какое–то новое инобытие. Новое [ино]бытие дается отдельно и притом внешне в отношении первого. Иначе будет в умножении, где множимое как раз берется в виде неделимого целого и повторяется в новом инобытии, которое есть нечто внешнее в отношении самого множимого. В сложении речь идет пока о внешнем сопряжении инобытия слагаемых. Сначала берется внутреннее инобытие шестерки, т. е. ее счетная составленность из шести разных единиц и необходимость перехода внутри нее от одной единицы к иной, а от этой иной еще к дальнейшей иной и т. д. вплоть до шести. Затем то же самое берется и относительно другого слагаемого—четверки. И наконец, — это и есть самое главное—одна инобытийность (та, которая внутри шестерки) приравнивается, в смысле именно внешней инобытийности, к другой (той, которая внутри четверки). Внешнее приравнение обоих инобытийностей и превращение их в единую инобытийную последовательность и есть сущность сложения и вычитания.

f) Во всем остальном сложение и вычитание ничем не отличаются от обыкновенного счета, как и самый счет ничем существенно не отличается от числа как такового. Иметь какое–нибудь число—значит считать в пределах этого числа. Основная функция числа есть функция разъединения и соединения, т. е. прежде всего счета. Поэтому число как число везде и всюду действует совершенно одинаково—разъединяя, различая и объединяя, отождествляя, т. е. прежде всего производя и обусловливая счетную сторону бытия. Поэтому можно не говорить специально о счетной функции числа в операциях сложения и вычитания, а достаточно просто говорить о чисто числовой функции, или о чисто смысловой функции числа.

3. Итак, сложение и вычитание есть функция числа в условиях внешнего взаимоотождествления его внутри–инобытийных элементов. Тут делается диалектически понятным и то «равноправие» слагаемых, с которого мы начали характеристику этих действий. «Равноправие» необходимо здесь именно потому, что оно–то и обусловливает собою взаимоприспособленность двух (или нескольких) инобытийных рядов, когда оказывается возможным объединить их в одну и целостную инобытийную последовательность. Однако это равноправие, по установленному нами выше принципу, не может мыслиться как нечто пассивное и неподвижное. Само число есть всегда смысловая энергия, ибо оно всегда есть акт различения и отождествления, разъединения и объединения отдельных элементов бытия; и невозможно мыслить пятерку без возможности и необходимости взаимоперехода одной единицы в другую в пределах этой пятерки. Но если число есть всегда смысловая энергия, то и его внутреннее инобытие, обусловливающее самую возможность счета, т. е. возможность самого числа, так же есть некоторая смысловая энергия. А поэтому и результат сложения и вычитания есть всегда результат смысловой энергии определенным образом функционирующего инобытия чисел.

4. а) Все эти рассуждения получат гораздо большую стройность и ясность, если мы применим к сложению и вычитанию тот структурный принцип, о котором говорилось в предыдущем параграфе, п. 4. Именно, каков принцип сложения и вычитания и как он структурно оформляется?

Принцип этот есть отождествление или различение нескольких раздельных, но в то же время непосредственно смежных становлений. Пусть это отождествление (различение) есть для нас некое самостоятельное бытие. Что это значит? Это значит, что мы приставляем, приделываем, как бы прикрепляем одно становление к другому. Было 6 единиц, и было 4 единицы. Теперь же мы приклеиваем становление 4 единиц к становлению 6 единиц. Это и есть бытие изучаемого отождествления.

Далее должно быть его инобытие. Это значит, что должен быть снят самый вопрос об отождествлении. Мы соединили конец одного становления с началом другого становления так, что получилось одно и единственное становление, и отныне мы уже забыли и о четверке, и о шестерке. Инобытие отождествления есть тот продукт отождествления, в котором уже невозможно различить отождествляемого.