В умножении субстанция множимого не раскрывается, не развертывается, не расцветает; она тут только воспроизводится при помощи механического повторения. Возведение в степень проникает в глубь первоначального числа, в каждый отдельный его атом, и в этом атоме воспроизводит первоначальное число целиком. 34 = 81—это суждение значит: первоначальная тройка берется четыре раза, но берется не просто как таковая, но предварительно каждая из этих четырех троек воспроизводит себя самое. Возведение в степень есть сила, заставляющая число воспроизводить себя самого, и притом определенное число раз. В умножении множитель может сколько угодно отличаться от множимого, он—только знак его внешнего повторения. При возведении же в степень «множитель^ мыслится всегда одним и тем же, а именно он и есть тут само множимое. Не то что какое–то внешнее инобытие тянет изначально данное число к повторению и воспроизведению, но само же число, само это первоначальное число порождает и воспроизводит себя самого. Тут не внешнее воспроизведение на прежнем материале, но внутреннее самовоспроизведение и притом на своем же собственном материале.

с) В этом и заключается сущность организма в отличие от механизма. Организм растет сам из себя, своими силами, и внешнее инобытие нужно ему только как материал, перерабатываемый им до полного с ним отождествления. В организме—синтез и отождествление внутреннего и внешнего; и на операциях возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования это становится вполне понятным. Когда число возводится в степень, оно, во–первых, воспроизводится; стало быть, тут играет роль какое–то внешнее инобытие. Но, во–вторых, оказывается, что воспроизводится оно по своему собственному закону т. е. по закону, лежащему внутри него самого, так как если брать прежний пример, то здесь каждая тройка множится сама на себя, т. е. воспроизводит сама себя. Следовательно, внешнее инобытие, констатированное нами в целях воспроизведения, оказалось водвинутым внутрь самой тройки; и это не просто внутреннее инобытие, которое может породить только операцию сложения и вычитания. Это—именно сразу и внутреннее и внешнее инобытие числа, та их встреча, где они отождествились и слились в одно нераздельное целое. Инобытие указало здесь не количество механических воспроизведений числа, но тот предел, до которого органически растет первоначально заданное число.

3. а) Возведение в степень на числовом языке выражает рост организма не в том переносном смысле, как можно говорить о росте числа в процессе умножения, но в том буквальном смысле, который присущ только живому и алогически саморазвивающемуся организму. Организм в процессе своего роста как бы возводит себя в ту или тую степень. Организм характерен именно тем, что в каждом своем отдельном моменте он повторяет себя самого, т. е. он всегда целиком в алогическом инобытии, а рост организма заключается в том, что это повторение идет непрестанно вперед, так что сначала весь организм воплощается в каждом своем моменте, потом организм, заключенный в каждом отдельном своем моменте, воплощается в более мелких моментах, т. е. в моментах этого момента, и т. д. и т. д.

С другой стороны, и само алогическое инобытие не остается здесь чем–то внешним и чуждым, но становится органическим телом растущего целого. Это и есть рост организма, и элементарное математическое выражение его есть возведение в степень.

Ъ) Надо всегда помнить при анализе математических положений, что математика раз навсегда исключает всякую вещественную качественность и превращает бытие в чисто формальное количество, когда уже не важно, о количестве чего именно, о количестве каких именно вещей идет речь. Тут важно само количество, количество как таковое. Однако, отделивши число от вещественной качественности, математика фиксирует качественные моменты в самом числе; и это, конечно, не вещественно–качественные, но чисто числовые качественные моменты. Эта математическая, или числовая, качественность возникает сама собой, как только мы задаемся вопросом структуры тех или других математических операций или формул.

И вот, если мы возьмем организм, возьмем организм в процессе его роста и заметим себе четко, что организм в отличие от механизма существенно зависит от своего тела (ввиду полного отождествления его материи, материала, с его внутренней идеей, или смыслом) и тело это тем самым повторяет идею цельно в каждом отдельном моменте, то что получается из всей этой конструкции, если мы исключим все содержательные моменты и оставим только моменты числовые, количественные и метод опять–таки не содержательный, но чисто формальный— метод последования этих числовых моментов? Мы забудем, что здесь идет речь об организме, а будем знать, что числа, здесь употребленные, касаются решительно всего и ничего в особенности. Мы забудем, что тут происходит именно рост организма. Наконец, мы забудем даже, что вообще есть на свете такое бытие, как органическое, и что [последнее] чем–нибудь отличается от бытия механического и всякого иного. Однако, становясь на чисто формальную точку зрения, мы не можем забыть здесь следующих трех вещей.

Во–первых, рост организма есть некоторое увеличение. Это во всяком случае момент не–качественный, не–содержательный, чисто формальный, и мы его обязаны оставить на месте.

Во–вторых, как происходит это увеличение и в каком направлении оно движется? Конечно, по принятому условию мы уже не можем сказать, что тут происходит выявление организма в деталях, его развертывание и живая жизнь. Мы оставляем из этой картины только тот чисто формальный момент, что каждая точка органического роста повторяет организм в целом, неразрывна с ним и неотъединима от него. Математически это значит только то, что, скажем, тройка повторяется в каждой своей единице полностью и целиком, так что получается не просто три единицы, как раньше, но три тройки. Это и значит, что тройка воспроизвела себя в каждом своем отдельном моменте. Тут забыта идея организма, но зато это не биология, а математика, и на своем—математическом—языке математика вполне точно выразила идею роста организма. Тут произошел перевод с языка биологического на язык математический.

Наконец, в–третьих, мы не можем забыть, оставаясь на формальноматематической позиции, и того конечного момента, до которого происходит или отмечается рост организма. Раз дано увеличение, то естественно спросить, до каких размеров доходит это увеличение. Это— тоже математика. И вот, понимая эту мысль чисто математически, мы опять должны наше суждение о пределе роста организма трактовать как суждение о том, сколько раз организм повторил себя самого в себе самом, сколько раз эта тройка отразилась сама в себе. Об этом и трактует т. н. показатель степени. Если есть тройка и мы заставили ее еще раз повториться, и повториться в каждом ее отдельном моменте, мы получаем показатель 2. Эта двойка указывает на то, что первоначальная тройка есть, во–первых, нечто само по себе, а во–вторых, она повторила себя в себе же. Показатель 3 указывает, что кроме основной тройки мы имеем первое повторение тройки в самой себе и еще второе повторение. И т. д. Без этого суждения о размерах роста, конечно, не было бы точного представления о нем самом и, след., о самом организме.

Так происходит перевод идеи органического роста на язык чисел. В числовом отношении это есть только возведение в степень.

с) Какое отличие возведения в степень от извлечения корня? Возведение в степень есть символ органического роста; извлечение же корня, очевидно, низводит нас от законченной формы развития к форме первоначальной. Тут происходит действительно некое извлечение корня в буквальном смысле слова; и мы, имея какой–нибудь растущий в земле цветок, как бы хотим узнать, из какого своего основания растет этот цветок, и вынимаем из земли его корешок, чтобы убедиться воочию в существовании этого основания и узнать его свойства. Какая категория действует в извлечении корня по сравнению с возведением в степень?

И там и здесь идет речь об органической жизни, и только в одном случае мы движемся от корня к стволу и завершительным формам, в другом же — от этих последних к корню. Движение органического роста одинаково характерно для обоих действий. Но как охарактеризовать не описательно, а чисто логически, и притом точно, разницу этих двух типов движения органического развития? Когда тройка возводится, скажем, в четвертую степень, то, как мы уже знаем, это приводит к тому, что тройка четыре раза повторит себя саму в своих отдельных единицах. Почти то же самое происходит и при извлечении корня. Но совершенно ясно, что для получения именно степени, а не корня необходимо сосчитать, суммировать все получившиеся от этой операции тройки, т. е. отождествить всех их в одно нераздельное и совершенно единое, даже единичное целое. Для получения же корня, в случае, скажем, извлечения корня четвертой степени из 81, надо, наоборот, в этом общем процессе органического развития отделить от всего целого то основное, что именно было взято для целей развития, отличить его от всего целого. Возводя в степень, мы отождествляем все тройки в одно целое, как бы вытягиваем их в одну однообразную линию 81 точки, в то время как при извлечении корня мы отвлекаемся от целого и стремимся, наоборот, к выделению из 81 основной тройки и к фиксации ее именно β отличие от 81. Итак, разница между возведением в степень и извлечением корня заключается в том, что в первом случае мы стремимся к органическому целому, явившемуся в результате развития и отождествления всех отдельных моментов этого развития в одном целом, в другом же случае мы стремимся от органического целого, явившегося в результате развития, к отличению отдельных моментов, из которых состоит это развитие, и прежде всего к фиксации и точному отличению того единственного и первоначального основания, из которого шло изучаемое развитие.

Ясно также и то, что логарифмирование, поскольку это есть операция нахождения степени, имеет целью фиксировать в общем процессе органического развития не начало этого развития (как извлечение корня) и не конец этого развития (как при возведении в степень), но то, что происходит между началом и концом. Что же именно тут происходит? Происходит самый рост, процесс роста. Но его необходимо формулировать математически, т. е. перевести на формальный язык чисел. Но что такое органический рост, если его понимать чисто количественно, а не содержательно? Рост есть непрестанное самовоспроизведение. То, что это есть именно самовоспроизведение, это уже зафиксировано в предыдущих моментах нашего анализа роста, равно как и то, что это есть именно самовоспроизведение. Но что же тогда остается в росте? Остается только метод этого самовоспроизведения, закон самовоспроизведения. Ни «самость» и ни «воспроизводимость» не характерны для логарифмирования; вернее, эти категории характерны, для него в той же мере, как и для возведения в степень, и для извлечения корня. Для логарифмирования характерен именно закон развития, не органическое развитие как таковое, но его методический принцип. Этот принцип показывает, что именно должно случиться с организмом и до каких пределов мыслится его развитие. Но по основной и неизбежной формальности числового языка математика и этот закон может выразить только количественно, т. е. она может только указать, сколько раз произойдет самовоспроизведение первоначального организма. Это и будет т. н. показатель степени, а самая операция нахождения степени основания по данному основанию и данному конечному количеству развитого основания и будет логарифмированием. Следовательно, если в основе возведения в степень лежит категория отождествления отдельных элементов в целое, а в основе извлечения корня—различение отдельных элементов на фоне целостного результата органического роста, то в основе логарифмирования лежит изучение движения этого развития и не столько самого движения, сколько устойчивого закона этого движения, т. е. движения, данного в аспекте твердой и покоящейся формы этого движения, — иными словами, в аспекте подвижного покоя органического развития.

d) Не забудем, однако, что природа числа противостоит природе вещи как чисто смысловая конструкция, что действие чисел, изучаемое здесь, есть действие чисто смысловое, смысловая энергия числа, что имеется здесь в виду смысловая картина органического развития, а не вещественный его коррелят, не механическая копия. И, давая определение рассмотренным действиям, тут в особенности не забудем ввести это обстоятельство в формулу.