a) Нужно прежде всего твердо держать в памяти то, что было сказано в § 115, п. 4 о перво–принципе арифметических действий, о категориальном принципе и о структурном принципе. Из них проще первый и третий. Первый появляется как синтез категорий натурального ряда и типологии. Третий воспроизводит лишь схематику общей теории числа. Более запутанный второй принцип, категориальный.

b) Тут сложная игра категорий. Пять обыкновенных внутри–эйдетических категорий пляшут тут далеко не сразу понятный балет. Чтобы не сбиваться с четкого диалектического пути, скажем прежде всего, что все эти пять категорий, конструирующие вообще всякий эйдос, обязательно участвуют решительно в каждом арифметическом действии. И следовательно, вопрос может ставиться только о том, как они тут участвуют, в каком порядке и в каком взаимоподчинении. Если говорить об основной, о главной, о центральной и превалирующей роли, то необходимо сказать, что первая пара стоит под самотождественным различием, вторая—под подвижным покоем и третья—под бытием (или «субстанцией»). Это видно из того, что в первой паре мы имеем дело с равноправными элементами, которые так и остаются в своем равноправии, входя без всякого изменения в сумму (или разность). Тут, стало быть, можно только их различать и потом отождествлять в одну непрерывную линию становления. Во второй паре множимое, несомненно, движется, раз оно воспроизводится; и в третьей паре, несомненно, речь идет о воспроизведении, но уже о всецелом, о воспроизведении в каждом отдельном моменте воспроизводимого, т. е. о субстанциальном росте.

Итак, превалируют и, так сказать, «задают тон» самой категории каждого действия именно эти категории. Однако тут же участвуют и все прочие категории, но уже подчиненно. В § 117, п. 5 мы указали, что подвижной покой есть и в первой паре, но он не дает тут особенно значительного результата, отдельно от того, что дает самотождественное различие. Так же не было особенного смысла вводить в §«115, п. 4 в определение второй пары категорию самотождественного различия, хотя внимательный читатель, несомненно, заметил, что прибавки в конце формулы умножения «в целях взаимовоспроизведения» и в конце формулы деления «в целях воспроизведения одного в пределах другого» содержат в себе если не прямо указание на эту категорию, то на известное ее частичное функционирование. Наконец, в третьей паре действий и в логарифмировании уже ясно выступает то, как при центральности одной из пяти категорий имеют важное значение и все другие.

c) Метод пяти внутри–эйдетических категорий—это только один из возможных подходов к арифметическим действиям. Другой подход, использованный нами, заключается в использовании инобытийной характеристики. Дело в том, что инобытие есть начало различия, и, внося то или другое инобытие, мы вносим в предмет те или иные различия, т. е. так или иначе рисуем и спецификум интересующих нас категорий. Здесь нужно обратить особое внимание (чтобы не запутаться) на наше замечание в § 118, п. 6.

Первую пару арифметических действий мы можем представить как арену внешнего инобытия чисел. Понимаем мы под этим то, что слагаемые, будучи равноправными моментами суммы, не превращаются одно в другое, а продолжают оставаться внешними одно в отношении другого даже тогда, когда мы, объединивши их в целую сумму, начинаем пересчитывать все заключающиеся в них единицы. Обратное этому имеем мы в умножении. Здесь множимое и множитель существенно неравноправны, так как растет именно множимое, а множитель только определяет размеры этого роста. Результат же этого роста такой, что множимое и его инобытие—множитель, будучи внешними одно в отношении другого ровно так же, как слагаемые в сумме, оказываются в результате умножения, в т. н. произведении, уже внутренно объединенными, настолько внутренно, что уже гораздо труднее их различать в этом общем произведении. Наконец, в § 118, п. 6 мы доказываем, что остальные три арифметических действия связаны с объединенным инобытием, с инобытием внутренно–внешним.

d) Наконец, третий подход, использованный нами в диалектике арифметических действий, пользуется терминологией «смысл», «факт» и «осмысленный факт». В первой паре действий речи нет о «фактическом» распространении входящих сюда элементов. Слагаемые берутся тут только с точки зрения своего смыслового, т. е. непосредственноколичественного содержания. Во второй паре существенно, наоборот, воспроизведение одного другим, т. е. существенен факт, ибо то, что воспроизводит смысловую структуру, есть именно факт. Остальные три действия сливают значащий смысл и воспроизводящий факт в одно синтетическое обстояние, являющееся числовым дублером понятия организма.

e) Наконец, не исключена, конечно, возможность и многих других диалектических подходов к арифметическим действиям. Едва ли, однако, они будут проще—ввиду большой сложности и переплетенности категорий, входящих в состав этих действий.

f) Нижеследующая схема облегчит усвоение предложенной диалектики действий.

тождество сложение умножение возведение в ст[епень] различие вычитание деление извлечение корнй подв. покой логарифмирование перво–принцип =разнокомбинируемое становление самотожд. различие внешнее иноб [ы*ие] «смысл» подвижн[ой] покой бытие (субстанция) внутреннее] внутр [енно ] — внеш [нее ] иноб [ытие] иноб[ытие] «осмысл [енный ] факт» «факт»

2. Важно также отдавать себе правильный отчет в истинном смысле синтезирования натурального ряда и типологии при помощи арифметических действий. Последние развертывают те логические возможности, которые кроются в каждом отдельном числовом типе. Если мы вспомним нашу теорию типов числа, то нам постоянно приходилось для пояснения того или другого типа прибегать к арифметическим действиям. Строго говоря, это было совершенно необязательно, так как мы должны были дедуцировать типы числа как некоторые логические категории и для этого вовсе не нужно входить во все те фактические модификации натурального ряда, во все те действия, которые приводят к тем или другим типам. Но зато все эти фактические вычисления обязательны теперь, когда мы рассматриваем самые действия. И мы видим, что синтез типов с натуральным рядом, т. е. рассмотрение типов с точки зрения становящегося счета, с точки зрения процессов счета, ведет уже к фактическим вычислениям, порождающим один тип числа из другого, т. е., попросту говоря, ведет к арифметическим операциям. Типы числа суть неразвернутые арифметические операции, так же как и эти последние суть фактически развернутые числовые типы. Развертывание числового типа в целое действие, очевидно, есть результат применения к типу методов счета. А счет есть прежде всего натуральный ряд чисел.

3. Важно также чувствовать энергийный, или, если угодно, силовой, характер арифметических действий. Это тоже дар натурального ряда. Типы сами по себе стабильны—так сказать, мертвы. Они неподвижно покоятся перед нами наподобие раз навсегда скомбинированных понятий или вещей. Арифметические же действия суть некоторого рода силы, смысловые силы и заряды, которые не покоятся на месте, но сущность которых состоит в излиянии силы. Это потому, что тут действует мощь натурального ряда, прямо или косвенно содержащаяся в каждом арифметическом действии. Потому «плюс» (+) есть именно некоторого рода смысловая энергия, энергия стягивания разных становлений в одно, единонаправленное становление. Потому радикал (√) есть смысловая энергия, энергия субстанциального роста одного становления в другом. И т. д. Этой энергийности не было в числовой типологии и не будет в комбинаторно–матричном исчислении.

4. Важно упомянуть здесь еще о трех законах арифметических действий—ассоциативном, коммутативном и дистрибутивном. Прежде всего необходимо ясно понимать, что сами действия от этих законов совершенно не зависят. Раз коммутативный закон, напр., в одних случаях применим к умножению, в других неприменим, то ясно, что о самом умножении нужно говорить вне всякой зависимости его от закона коммутативности. Так мы и делали. Сначала нужно было вывести самые действия, а потом уже говорить об их необязательных законах.

Что же касается теперь самих этих законов, то они возникают на ниве дальнейшего углубления самой категории становления, из которой появились и самые действия. Именно, когда мы говорим о самих действиях, мы, в сущности говоря, рассматриваем голое становление с точки зрения не становящихся, т. е. смысловых, т. е. внутри–эйдетических, категорий. Или, точнее говоря, мы рассматриваем здесь эти последние с точки зрения их раздельного воплощения и становления. Но ничто не мешает нам идти и дальше. Уже получивши данное действие, мы можем внутри него наблюдать разные становления, т. е. разные направления действия. Для этого придется самое действие считать уже не становящимся, а чем–то устойчивым, ставшим и в его пределах судить о значимости отдельных направлений счета. Так мы и произвели дедукцию трех законов счета в § 65, к которому и надо отослать забывчивого читателя. Если все действия и все законы счета in nuce[915] заложены уже в типе числа, т. е. на стадии идеальной единораздельности числа, то сфера становления развернет эти действия во всей их конкретной структуре, а сфера ставшего развернет и все законы счета, применимые в этих действиях.

5. Теперь мы и у новой грани. Арифметические действия нами изучены. Получены они как синтез натурального ряда, или счета, и числовой типологии. Числовой тип погрузился в становление, в счетность, и мы увидели, из каких действий счета он состоит. Но мы могли бы это становление интенсифицировать и дальше. И если бы мы это сделали, мы заметили бы, что новое становление уходит уже не на конструирование арифметического действия, а уходит на что–то другое. А именно, поскольку самое–то действие уже конструировано и его энергийная природа оформлена, дальнейшее становление может наброситься только на самое же действие, на его смысловую субстанцию, на самую его категорию. Это значит, что арифметическое действие перестанет существовать как таковое, а перейдет в свое отрицание, в свое инобытие. Оно распадется, и вместо того становления, из которого оно вырастало, оно создаст распавшееся становление, принципиальйо превратится в устойчиво–ставшее. Но это будет значить, что арифметические действия превратятся в комбинаторно–матричное исчисление.