Итак, мы забываем о системе чисел в ее целом и привязываем ее только к какому–нибудь одному ее элементу. Таким образом, получается новая система чисел во главе с каким–нибудь одним числом, Т. е. какое–нибудь одно число рассматривается как система чисел, как определенным образом составленное из целой системы чисел, как определенным образом вычисленное при помощи целой системы чисел. Конечно, всякое арифметическое действие тоже есть получение некоторого числа при помощи, целой системы чисел. Но не будем путаться в трех соснах: под системой чисел понимается у нас не просто та или иная комбинация чисел, но ряд, последовательность чисел. Следовательно, в настоящем случае мы привязываем к данному числу известную последовательность чисел, составляем его при помощи ряда чисел или даже нескольких таких рядов. И вот здесь–то и возможно поразному смотреть на структуру числовых систем.

a) В течение нашего исследования мы уже много раз применяли к числу категории «смысла», «бытия» и «осмысленного бытия». «Смысл» арифметического числа есть, вообще говоря, его количество. Смысл пятерки заключается в том, что тут перед нами пять единиц, и больше ничего другого нет'. Ту же самую пятерку мы можем рассматривать с точки зрения «бытия». Это значит, что нас тут интересуют самые акты полагания, из которых состоит пятерка. Оба подхода мы можем соединить и в один. Вот это разделение, которое кажется пустым в более отвлеченных теориях числа, становится весьма ощутительным, когда мы переходим к сложным и разветвленным структурам. Наше число, составленное при помощи целой системы (или ряда) чисел, можно брать именно чисто количественно или, так сказать, по его смысловому содержанию; можно его брать и по заключенным в нем актам полагания; можно, наконец, рассматривать его и по совокупности обеих точек зрения. Во всех трех случаях число будет составляться при помощи системы или рядов чисел.

b) Всмотримся в первый способ конструирования числа из системы чисел. Мы, стало быть, берем число в его чисто количественной значимости и спрашиваем себя, как его можно составить из того или иного ряда чисел, расположенных по тому или иному закону. Простейшей и яснейшей проблемой арифметики, относящейся сюда, является, очевидно, проблема делимости чисел. Иметь точное представление о делимости числа—это и значит рассматривать данное число при помощи целого ряда определенным образом подобранных чисел. В частности, вопрос о том, делится ли данное число N на q без остатка, есть, напр., вопрос о том, можно ли составить арифметическую прогрессию, в которой первый член есть 0, последний =N, а разность =q. Но и без этого ясно, что вопрос о том, каковы делители данного [числа], как оно из них составляется и даже делимо ли вообще данное число на другое данное, в диалектическом смысле есть не что иное, как рассмотрение числа с точки зрения определенной системы других чисел, так или иначе связанных между собою. Вся нелегкая проблема делимости чисел развивается именно под этой модификацией ставшей сущности арифметического числа.

c) Обратимся к числу как системе полаганий. Хотя актов полагания в числе столько же, сколько в нем и количественных единиц, но логически это совершенно разные категории. И мы сейчас же замечаем, сколь несхожую структуру мы получим, если остановимся именно на актах полагания. Итак, берем те акты полагания, из которых состоит данное число, и пробуем представлять их как возникающие из определенной системы чисел. Акты полагания единиц в числе тем отличаются от его количественного смысла, что они существуют и могут рассматриваться в своей полной изолированности, в то время как количество, будучи смыслом числа, обязательно берется как целое, как некая неделимая единичность, вне которой оно рассыпается и теряет свой смысл, т. е. перестает быть смыслом числа. Каждый акт полагания имеет значение сам по себе и, даже все вместе взятые, они остаются (как таковые, вне своего смысла) полной дискретностью. Поэтому привлечение некоей новой системы чисел для характеристики актов полагания, составляющих данное число, нисколько не затронет его количественно–смысловой значимости, а только произведет изменение в них как именно в них. Но что же это значит—произвести изменение в актах полагания как актах полагания? Это значит производить из них тот или иной отбор и располагать их в том или ином порядке. Раз количественная сторона числа остается без внимания, то остается только так или иначе комбинировать входящие в него акты полагания, или единицы. Другими словами, здесь мы наталкиваемся на тот отдел математики, который обычно носит название комбинаторики, или учения о соединениях. Мы можем иметь в виду тот или иной выбор элементов, тот или иной порядок элементов, наконец, то или иное объединение выбора элементов с их порядком и получить три общеизвестных типа «соединений»-— «размещения», «перестановки» и «сочетания».

Возьмем хотя бы «перестановки». Пусть у нас имеется Ρ элементов, т. е. число Р. Отвлечемся от того, что это именно Р, а будем только оперировать с входящими в него элементами. И пусть нам скажут, что эти элементы, взятые в таком виде, должны быть составлены соответственно той или другой системе чисел. Какова бы эта система ни была, мы сможем произвести в них изменение именно в смысле того или иного их комбинирования, т. е. определенного отбора и порядка. Никакие иные характеристики нашего числа невозможны, раз мы с самого начала отбросили его чисто количественный смысл. Так с очевидностью вытекает, что комбинаторика есть рассмотрение чисел, взятых только в составляющих их актах полагания, с точки зрения той или иной системы других чисел.

3. По нерушимому закону диалектики количественный смысл и общечисловые акты полагания объединяются в нечто целое, и мы начинаем говорить о синтезе того и другого, об осмысленном акте полагания числа. Следовательно, число, рассматриваемое как появившееся из целой системы чисел (а значит, и операций), предстает и со всеми своими актами полагания, и со всей своей количественной значимостью. Мы получаем число, которое, во–первых, интересует нас уже само по себе, т. е. чисто количественно. А во–вторых, оно интересует нас как вычисленное на основании определенной системы чисел и, поскольку эта последняя, основана на комбинировании актов полагания, как вычисленное на основании комбинаторного принципа. Это соединение числа как непосредственного количества с его комбинаторной исчисленностью есть детерминант.

а) Посмотрим, как определяется детерминант. Берется n2 чисел, которые расставляются в виде следующей квадратной таблицы:

a11, a12 … a1n

a21, a22 … a2n

an1, an2 … ann

В этой таблице aik первым значком—i обозначается номер строки, вторым, к—номер столбца. Составляем всевозможные произведения из всех этих чисел так, чтобы в каждое произведение входило по одному числу из каждой строки и из каждого столбца. Очевидно, мы получим произведение вида

a1p1 a2p2 … anpn

где р1 р2, pn есть определенным образом расставленные числа 1,2,…, n, причем число этих «перестановок», как известно, будет равно 1·2·3·…·n=n! Если в качестве основного порядка «перестановки» взять прямую последовательность 1, 2, 3, …, η и под инверсией (беспорядком) понимать то явление, что большее число стоит в перестановке раньше меньшего, то мы получим в одних произведениях четное число инверсий во вторых значках, в других нечетное. Возьмем первые со знаком плюс и вторые со знаком минус. Тогда сумма всех этих произведений и образует детерминант л–го порядка. Обозначая через [р1 р2, pn] число инверсий в перестановке р1 р2, pn мы можем Определить указанный детерминант как