Что же это за закон? Возьмем ради простоты рассуждения детерминант 3–го порядка. В этом случае наши произведения будут состоять каждое из трех сомножителей, которые будут составляться так. Сделаем все перестановки из трех элементов. Их будет шесть:

1, 2, 3

2, 3, 1

3, 1,2

1, 3, 2

2, 1,3

3, 2, 1.

Примем за основную перестановку первую — 1, 2, 3. Сделаем так, чтобы эта основная перестановка имела значение во всех шести перестановках, чтобы все они были на нее нанизаны. Тогда и получаем закон составления этих слагаемых из произведений:

11,22,33

12, 23, 31

13, 21, 32

11,23,32

12, 21, 33

13, 22, 31.

Смысл этого распределения заключается в том, чтобы каждая из шести перестановок обязательно имела смысл основной перестановки 1, 2, 3, чтобы каждый элемент независимо от своего собственного значения имел бы также значение и своего положения в перестановке 1, 2, 3.

с) Нетрудно заметить, что количественно–смысловое значение нашего общего числа и участие в нем разной расставленности актов полагания, т. е. его «смысл» и его «бытие», построены по одному и тому же закону, по закону диалектической триады. Количество дано в виде суммы, следовательно, имеется в виду некоторая положенность чисел; и эти слагаемые суть некоторого рода произведения, следовательно, положенность перешла тут в свое инобытие, поскольку (§ 117) всякое произведение есть всегда некое воспроизведение одного в ином. Но если каждое слагаемое есть произведение, то все наше число есть сумма произведений. Это третий шаг в определении количественного смысла изучаемого числа. С другой стороны, переходя к изучению актов полагания, из которых составляется наше число, мы прежде всего видим, что тут признается за данный некоторый определенный порядок актов полагания (выбор этот вполне произволен), а затем тут же перебираются все возможные инобытийные виды этого порядка, с которыми, однако, основной порядок остается неразрывно связанным. Таким образом, три диалектических шага вполне различимы в структуре как количественного содержания изучаемого числа, так и актов его полагания.

d) Остается еще одна и последняя идея, чтобы детерминант открыл нам свой логический секрет. А именно, мы взяли в нашем числе чисто количественную сторону и чисто фактическую, акты его полагания. Само число, однако, не есть ни только абстрактное количество без осуществляющих его актов полагания, ни только слепые акты полагания без осмысливающего их количества. Но не сразу понятно, как акты полагания могут в данном случае определить количество. Конкретно вопрос стоит так: как каждое из наших произведений определяется входящими в него актами полагания? Если этот вопрос будет решен относительно каждого произведения в отдельности, то тем самым он будет решен и относительно всей суммы произведений, т. е. относительно всего изучаемого нами числа.

Вопрос ставится не просто об отличии одного порядка сомножителей от другого, так как этот вопрос уже нами разрешен при помощи использования триадического шага в области актов полагания, т. е. при помощи получения всех возможных перестановок. Речь идет о том, как данный порядок сомножителей, взятый в целом, влияет на получаемое при этом количество, т. е. на их произведение. Другими словами, это произведение мыслится нами сейчас как неизвестное, как произведение каких–то неизвестных, и требуется узнать, как на это общее неизвестное повлияет тот или иной порядок этих неизвестных сомножителей.

Спросим себя: что означает тут та или иная перестановка сомножителей? И даже поставим вопрос еще уже. Не надо обсуждать общее отличие одной перестановки от другой, а достаточно пока отдавать себе отчет в простой замене одного сомножителя другим, носящей в теории детерминантов название транспозиции. В чем, стало быть, смысл транспозиции? Чтобы наш ответ на этот вопрос не показался странным, рассмотрим эту замену сомножителей в том их смысле, какой он имеет чаще всего для детерминантов, т. е. в смысле коэффициентов при неизвестных системы уравнений. Пусть, напр., мы имеем

Определяя из третьего уравнения