§ 122. Матрицы.

1. Детерминант представляет собою наиболее зрелый диалектический продукт ставшей сущности арифметического числа, понимаемого как отдельное число. Однако ставшая сущность числа отнюдь не есть только отдельное число. Наоборот, ставшая сущность, как мы видели в § 120, есть остановившееся становление числа, а таковое всегда предполагает некоторую как бы объемность, т. е. множественность и раздробленность, или комбинацию, систему чисел. Детерминант возник на почве диалектики отдельного числа, а ставшая сущность числа есть комбинация чисел. Отсюда сам собой возникает переход от безразличной общности комбинации к ее единораздельной системе. И теперь должна быть на очереди не просто система чисел вообще, для которой известен только общий принцип ее построения (отношение, пропорция, ряд), но и система чисел как именно система, т. е. сиетема во всей положенности своих элементов. С другой стороны, поскольку наша диалектика уже достигла зрелости детерминанта, новая категория должна вместить в себе достигнутую ступень и новое понятие должно быть образовано на основе учения о детерминанте. Такой категорией и является матрица.

2. а) После изучения детерминанта матрица оказывается и чем–то простым, уже известным, и чем–то безусловно новым. С одной стороны, матрица почти ничем не отличается от детерминанта. Она есть таблица чисел, но и детерминант пишется в виде таблицы чисел. И если из матрицы можно получить известное количество дeтepминaнτoв, то и всякий детерминант возможен только потому, что существует определенная матрица. Однако, с другой стороны, между детерминантов и матрицей существует и огромное различие. В основном оно сводится к тому, что детерминант всегда есть определенное число, матрица же есть система чисел. Это и заставило нас детерминант объединять с комбинированной представимостью отдельного числа, а матрицу—с числом, понимаемым как система. Детерминант есть отдельное число как система чисел, матрица же есть система чисел как система чисел. Это сразу накладывает неизгладимый математически–диалектический след на понятие матрицы, не только расширяя прежнее понятие детерминанта, но и дополняя его некоторыми совершенно не бывшими до того особенностями.

b) Если бы мы захотели представить себе более конкретно диалектическую сущность матрицы, мы должны [были] бы выдвинуть тут на первый план понятие комплекса, уже хорошо известное нам из теории мнимостей (§ 105) и из теории гиперкомплексных чисел (§ 113). Попробуем в этом разобраться.

Мы можем рассматривать комбинацию вещей, состоящую, напр., из 5 яблок, 3 орехов и 2 конфет. Это будет некоторая система чисел, которые в старой арифметике называли именованными. Но мы можем отвлечься от яблок, орехов и конфет и вообще от всяких вещей, но все же продолжать рассматривать соответствующие числа как состоящие из различных единиц. Мы забудем о вещах, но мы все же будем помнить* что пятерка состоит у нас не из тех единиц, из каких тройка, а тройка— не из тех, из каких двойка. Это помешает нам складывать 5 + 3 + 2 в одну безразличную сумму, как мы не могли без всяких предварительных условий попросту сложить 5 яблок, 3 ореха [и] 2 конфеты. Такие числа называются, вообще говоря, комплексными и записываются так, чтобы их система не поглощала каждое из них до полного безразличия, но чтобы каждое оставалось самостоятельным. Наше комплексное число мы запишем в данном случае примерно так: (5, 3, 2).

Примеры этих комплексов мы находили в теории мнимостей, где величина а+Ы была такова, что невозможно было не считаться с индивидуальными особенностями тех единиц, из которых состоит а и состоит bi, — откуда и соответствующая запись. В теории гиперкомплексных чисел мы нашли т. н. кватернионы (§ 113), которые, являясь комплексом четырех разных единиц, так и действовали у нас со всей этой несводимостью одной единицы на другую.

Вот таким же точно «числом», вернее, системой чисел является и матрица. Она, конечно, не есть безразличное собрание каких угодно чисел. Она все же есть нечто целое, которое во всех своих элементах управляется определенным законом. Однако это не то целое, каким является, напр., арифметическая или геометрическая прогрессия и где целое не дано конкретно во всех своих элементах, а только в известном законе его построения. Матрица—это есть система чисел, которая хотя и является чем–то закономерно–целым, но в которой каждое отдельное число положено не просто принципиально, но во всей своей фактической индивидуальности.

3. а) Отсюда и основные свойства матрицы. Все они связаны именно с индивидуальным значением каждого ее элемента.

Матрица нулевая тогда, когда все ее элементы равны нулю. Две матрицы считаются равными не тогда, когда равны числа, составленные тем или другим способом из их элементов (как в детерминантах), но когда одинаковы все их соответствующие элементы при равном числе горизонталей у каждой и равном числе вертикалей у каждой. Сложить одну матрицу с другой—это значит сложить их соответствующие элементы. Можно даже сказать, что матрица есть в некотором роде векторное число, поскольку арифметика способна отличать вектор от скаляра.

Умножить матрицу на обыкновенное скалярное число—значит умножить на него каждый ее отдельный элемент. Здесь же и все обыкновенные законы счета. Оригинально (как и вообще в комплексных числах) умножение матрицы на матрицу. Умножить в этом смысле— значит составить новую матрицу так, что каждый ее элемент на пересечении ί–й горизонтали и j–й вертикали получится, если каждый элемент 1–й горизонтали первой матрицы умножили на соответствующий элемент j–й. вертикали второй и сложили все полученные этим способом отдельные произведения (имеются в виду сомножители и произведения одного и того же порядка). В умножении матриц, вообще говоря, не соблюдается коммутативный закон; и это наиболее характерное для матрицы свойство мы уже имели случай воочию видеть при рассмотрении умножения кватернионов (§ 113). В то же время здесь действительны ассоциативный и дистрибутивный законы (как и вообще в комплексах).

В этом же ряду особенностей матричного исчисления необходимо отметить то, что произведение матриц может обращаться в нуль (матрица равна нулю, когда все ее элементы равны нулю) даже в том случае, когда матрицы–сомножители и не суть нули. Напр., при любых а и b

Это обстоятельство вполне аналогично комплексной области, относительно которой Вейерштрасс доказал даже следующую теорему: при обычных законах сложения и умножения, когда, кроме того, нуль есть единственный делитель нуля, комплексных чисел с тремя единицами не существует (так как они сводятся или к вещественным числам, или к комплексным типа a+bi). По этой теореме, стало быть, выходит, что если вообще существует комплексное число больше, чем с двумя единицами, то тут при коммутативности умножения существуют делители нуля, отличные от нуля, т. е. деление тут неоднозначно, Фробениус и Пирс расширили теорему Вейерштрасса в том смысле, что доказали единственность гиперкомплексной системы при некоммутативности умножения, но с однозначностью деления; эта система—кватернионы с вещественными коэффициентами. Стало быть, только числа типа a+bi, строго говоря, могут считаться допустимыми в арифметике, если не придавать ей матричного расширения. Однако матрицы при всей йх важности для разных отделов математики и естествознания и связанности с ними и по своей структуре (таковы, напр., функциональные матрицы) все же коренятся в арифметике как в сфере, вообще говоря, непосредственной значимости чисел.

b) Матрицу можно понимать как совокупность детерминантов. Имея квадратную матрицу с n2 элементами, можно получить один детерминант и–го порядка и известное количество детерминантов низшего порядка, которое легко вычисляется, если принять во внимание, что число детерминантов 1–го порядка равно п2 (или т–п, если матрица прямоугольная), число детерминантов 2–го порядка равняется квадрату числа сочетаний из т по 2 (или · С2, если m<n) и т. д. Матрица имеет свой ранг. Матрица считается ранга г, если в ней есть по крайней мере один отличный от нуля детерминант, в то время как прочие детерминанты в ней высшего порядка все равны нулю. Всякая матрица ранга г есть сумма г матриц ранга 1. Таково формальное отличие матрицы от детерминанта, становящееся внутренно понятным только с указанным привлечением «векторного» представления.