Эти (х1… хn) мы можем понимать, во–первых, как разные измерения «-мерного пространства, так что указанное преобразование будет говорить о переходе одного вектора данного пространства в другой вектор того же пространства. Эти же переменные, далее, можно понимать как координаты точки того же пространства η измерений, так что наше Преобразование есть переход от одной точки к другой. Можно, в–третьих, считать, что переменные являются компонентами одного и того же вектора при разной системе координат. Тогда наше преобразование есть преобразование самих координат.

Спросим себя: каково то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы т систем с η постоянными находились между собою в линейной зависимости. Оказывается, что в случае когда m≤n, то m систем с η постоянными только тогда линейно зависимы, когда все определители m–го порядка матрицы

равны нулю. Мы не будем отвлекаться доказательством этой теоремы, как оно ни просто, но отметим этот удивительный факт, который, к сожалению, всегда понимается слишком количественно и, так сказать, вычислительно: матрица со своими детерминантами явилась здесь некоторым инвариантом, потому что эти (х1… хn) могли ведь иметь какое угодно значение, но раз составленные из них системы линейно зависимы, то определенная комбинация их всегда равна нулю. Опуская случай m>n (так как здесь системы будут всегда линейно зависимы), укажем на то, что линейная зависимость имеет и вполне реальный количественный смысл, так что указанное матричное условие определяет собою и некоторые геометрические инварианты. Напр., две точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они совпадают; три точки тогда, и только тогда, линейно зависимы, когда они лежат на одной прямой; четыре точки —если они лежат на одной плоскости; пять и более точек всегда линейно зависимы. Везде тут будут иметь значение указанная матрица и ее детерминанты.

Если теперь обратиться к линейному преобразованию и обычным порядком составить квадратную таблицу коэффициентов той системы уравнений, которой определяется преобразование (называя ее матрицей преобразования), то окажется, что сумма квадратов элементов каждой строки и столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк или разных столбцов равна нулю. Пусть у нас матрица третьего порядка, и пусть ее элементы суть косинусы углов, образованных новыми осями со старыми. Тогда соответственно мы получаем некоторый инвариант при координатных преобразованиях. Допустим, что координаты неподвижны, а движется само пространство как целое. Тогда это преобразование будет определяться все теми же тремя уравнениями и соответствующим определителем (+1). Определитель (—1) будет указывать не только на движение, но и на симметрию относительно начала. Очень важна тут еще и такая теорема: если от переменных χ к переменным х' переходим [с] помощью линейного преобразования с матрицей а и далее к х' с матрицей b, то х' можно и прямо получить из χ при помощи линейного преобразования с матрицей Ъа. Как видим, параллелизм между линейными преобразованиями и матрицами идет очень далеко.

Можно показать что если под инвариантом понимать только рациональные функции координат и коэффициентов (при однородности тех и других), то в этих функциях всегда будет общий множитель, зависящий только от коэффициентов подстановки и всегда являющийся той или другой степенью определителя подстановки. Такие инварианты, как известно, называются относительными, а показатель упомянутой степени носит название веса инварианта. Задаваясь вопросом о нахождении всех таких инвариантов, мы опять сталкиваемся с детерминантами. Пусть, напр., на плоскости имеется несколько точек. Оказывается, что простейшие инварианты в этом.случае можно получить при помощи детерминантов второго порядка, составленных из заданных координат этих точек. Эти детерминанты дают и полную систему инвариантов.

Обладая двумя точками на плоскости: 1, 2, мы получаем основной инвариант в виде двойной площади треугольника с точками 0, 1, 2. А площадь треугольника и есть половина детерминанта, составленного соответствующим образом из кооординат этих точек. Беря большее число точек и разыскивая полную систему аффинных инвариантов, мы найдем, что она состоит из всех их детерминантов. Если остановиться на проективном преобразовании (дробно–линейные подстановки) и ограничиться, напр., опять двумя переменными, т. е. плоскостью, то при абсциссе на прямой х= парах этих переменных детерминант

явится тоже полной системой основных инвариантов. Но так как числовое значение ∆ik тут отпадает, то проективное значение остается за ∆ik=0. А это значит, что i и к совпадают, каковое совпадение точек мы уже выше отметили как вытекающее из их линейной зависимости.

Даже различие трех основных геометрий (ср. выше, § 71) совсем не обходится без детерминантов. Имея в виду квадратичную форму

α2+β2+γ2–εδ2,

которая при ε=0 характеризует Эвклидову геометрию, при ε>0— геометрию Лобачевского, а при ε<0—Риманову, мы находим, что детерминант этой формы для неэвклидовой геометрии

детерминантов вообще есть основа для теории инвариантов. Эта интимная связь обеих ветвей математики объяснена у нас диалектически как результат одинакового категориального происхождения того и другого. И детерминант–матрица, и инвариант возникли на почве одной и той же категории ставшей сущности члена,, поскольку и то и другое предполагает совокупное полагание неизменно количественных и изменяющихся фактических сторон числа в один внутренно измененный факт количества, в комбинированное ставшее, или в числовую систему как в такую.