Прежде всего, самый этот способ выражения хотя и вполне точный, но не вполне ясный, и не худо было бы подобные выражения заменить другими. Смысл этого утверждения заключается в следующем. Если мы имеем ряд элементов данной группы, то, очевидно, раз результат объединения каждых двух из них принадлежит к самой группе, сама группа состоит из этих объединений, точнее говоря, из всевозможных объединений («произведений»). Мы видим отсюда сразу, что упомянутый момент определения группы просто говорит о том, что группа есть система числовых систем, ряд рядов, и что эта система построена по определенному закону композиции. Если наш основной ряд есть А1 А2, А3, А4, то, считая A1 за единицу (о чем еще будет речь ниже), мы получаем такую таблицу, носящую имя таблицы Кэли:

Тут наглядно видно, почему группа есть ряд рядов и каково значение в ней композиционного принципа.

Задаваясь вопросом о том, какова категориально–диалектическая сущность этого момента определения понятия группы, мы должны обратить внимание на то, что указанный выше перво–прннцип группы, т. е. самая композиция, выставлен здесь двояко. Во–первых, весь основной ряд «перемножен» на первый член ряда, и, во–вторых, весь основной ряд «перемножен» на все члены этого же ряда. Другими словами, наш перво–принцип, композиция, во–первых, как–то осуществлен, осуществлен вообще; это значит, что мы уже покинули тут стадию первопринципа группы и перешли к ее принципу, к ее «бытию». Во–вторых же, он осуществлен тут вполне определенным образом, а именно так, что мы при этом осуществлении не только пробегаем весь ряд, но осуществляем еще и самый ряд—соответственно пробегая опять все его члены подряд. Это значит, что композиционный перво–принцип перешел тут от своего бытия к своему становлению: мы не только осуществили композицию, но еще раз пустили это осуществление в новое осуществление. Таким образом, утверждение, что в группе результат композиции двух элементов принадлежит в качестве элемента к самой группе, освещает сразу и бытие, и становление в самом понятии группы.

Отметим и то обстоятельство, что на приведенной таблице Кэли яснейшим образом видна сущность перво–принципа. Ведь всякий первопринцип (как это мы хорошо знаем, и прежде всего из § 23) присутствует в соответствующей ему сфере бытия совершенно одинаково и самотождественно, являясь в то же время и принципом всякого различия. В нашей таблице в каждом элементе группы одинаково и целиком присутствует идея определенного рода композиции двух элементов. Элементы везде тут разные, да и результат композиции везде разный. Но самая композиция формально везде одна и та же, и ее результат в этом смысле везде один и тот же.

c) Пойдем дальше. За становлением идет ставшее, наличное бытие. Наша композиция и все ее результаты пусть застынут в некоей твердой данности. Чем определяется эта твердая данность? В каком виде все элементы будут утверждены в качестве факта? Когда мы в § 65 переходили в область арифметических операций от становления к ставшему, мы столкнулись с т. н. законом счета. Как ведут себя элементы группы в этом смысле и применим ли к понятию группы этот способ рассуждения вообще?

Не без удивления мы находим в определениях понятия группы точные указания на эти законы. А именно, 1) утверждается, что композиция группы обязательно обладает ассоциативным законом, т. е. что (Φτ)и = φ(τυ), и что, стало быть, выражение φτυ имеет также вполне определенный, единственный смысл, что и φτ. С другой стороны, коммутативный закон совсем не обладает такой обязательностью, так что, вообще говоря, φτ ≠ τφ и все группы делятся на коммутативные (Абелевы) и некоммутативные.

d) Но в особенности ярко торжествует свою победу наша пятиступенная диалектика, когда мы задаемся вопросом о том, где же завершительный, выразительный момент определения понятия группы и как на своем языке выражают его математики. Его можно выразить более общо и менее общо. Для первого случая вспомним, какую форму принимало у нас выражение в применении к действиям. Арифметическая операция превращается тут в целый комплекс действий, который в иной комбинации своих направлений оказывается уравнением. Уравнение всегда выразительно, давая метод движения от внешнего неизвестного к известному внутреннему или от внешнего известного к внутреннему неизвестному. Если к элементам; группы применим принцип уравнений, т. е. если уравнения с неизвестными в качестве элементов группы обязательно разрешимы, то возможность этих уравнений и обеспечит нам искомую выразительность определения понятия группы. Действительно, если принять во внимание возможную некоммутативность, то, оказывается, для каждой группы уравнения

φχ=τ

yφ=τ

обязательно разрешимы если, конечно, φ не равно нулю), и притом однозначно разрешимы. Это звучит, однако, довольно отвлеченно, и мы можем употребить тут гораздо более конкретные выражения.

А именно, из предыдущих уравнений вытекает, что необходим и случай φχ=φ, т. е. необходимо, чтобы если φ не равно единице, то оно в иных случаях и равнялось единице. Точно так же уравнение φχ = τ разрешимо только тогда, когда возможен и случай φχ=1, т. е. когда имеется некое φ такое, что φ · φ–1 = 1. Это сразу накладывает резкий отпечаток на понятие группы; и в руководствах по теории групп в качестве обязательных моментов определения содержатся еще и такие два: в системе, именуемой «группа», существует элемент–единица, т. е. такой элемент ε, что для любого φ системы имеется φε = εφ = φ; и для любого элемента φ системы существует в системе обратный элемент, такой, что φ φ»1 = 1.

Кажется, нефилософ и недиалектик не может и прикоснуться к пониманию подлинного категориального значения для двух обязательных элементов каждой группы, элемента–единицы и обратного элемента. Кажется, еще никому из математиков не пришло в голову понимать эти элементы как выразительные формы логического определения понятия группы. А между тем совершенно неясно, зачем говорится об этих элементах уже в определении группы. Если математики вводят их в определение, то вовсе не потому, что они имеют потребность в логической системе, и вовсе не потому, что понимают весь логически–завершительный смысл этих двух элементов в понятии группы, но исключительно только потому, что в иных группах, а в особенности в геометрических (напр., в группе вращений), эти элементы обладают неотразимой очевидностью, и бьющей в глаза очевидностью, так что, давая после этого общее определение группы, уже никак нельзя обойти упоминания об элементе–единице и обратном элементе. Таким образом, если математики и вводят это упоминание в самое определение группы, то исключительно в результате ползучего эмпиризма, но никак не в результате диалектической ясности самого понятия группы. Тем более нужно быть благодарным исследователям, впервые захотевшим представить это понятие во всей его кристально–философской ясности.

Необходимо, между прочим, отметить, что как из однозначной разрешимости указанных уравнений вытекает наличие элемента–единицы и обратного элемента, так и из этого наличия вытекает однозначная разрешимость этих уравнений. Поэтому выразительный характер общих элементов группы нужно понимать не только в связи с приведенными уравнениями, но и самостоятельно, из них самих. В этом случае, однако, выразительная форма, пожалуй, еще ощутимее. Дело в том, что все предыдущие моменты определения понятия группы обладают слишком принципиальным характером и ничего не говорят о реальном протекании в ней композиционного принципа. Элемент единица указывает, напротив того, на некое начало реального оформления группы, т. е. оформления как чего–то целого, а обратный элемент указывает на разнообразные смысловые направления, господствующие в реальном организме группы. То и другое, несомненно, свидетельствует о конкретной выразительности группы.