c) Посмотрим, каковы возможные здесь зеркальные отражения. Прямоугольная, и в частности квадратная, решетка зеркально отображается относительно любых прямых решетки, а также относительно прямых, им параллельных и проходящих через центры прямоугольников. Что же касается непрямоугольных решеток, то единственной допускающей отображение на саму себя является ромбовидная решетка, которая может быть получена из прямоугольной путем прибавления к ней в качестве точек решетки центров прямоугольников, так как в данном случае стороны прежнего прямоугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями полученных ромбов. Таким образом, группа ромбовидных зеркальных отображений тождественна с группой прямоугольных.

Итак, мы имеем три группы вращений и одну группу зеркальных, отображений. Ни при каких других условиях вращения и отображения плоская решетка не совпадает сама с собой.

d) И вращения, и отображения могут еще соединяться с переносом. Посмотрим, как это возможно. Что касается вращений, то всякое вращение с переносом можно заменить просто другим вращением. Вращение вокруг точки на 180°, соединенное с переносом 0 в 0', тождественно с таким же вращением около середины отрезка 00'. Поэтому плоскую решетку можно вращать на 180° не только около ее общих точек, но и около точек посредине между любыми двумя точками. Из этих новых центров вращения вместе с точками данной решетки получится другая решетка, подобная первоначальной и половинного в сравнении с нею измерения. Квадратная решетка допускает, кроме того, вращение на 90° вокруг средних точек квадратов. Эти новые центры вращения образуют свою квадратную решётку, повернутую в отношении старой на 45° и в отношении к ней половинную по площади. Что же касается вращения на 60°, то тут центрами вращения могут быть только точки самой решетки, потому что средние точки равносторонних треугольников в качестве центров вращения дали бы вращение уже 3–го порядка.

Таким образом, только вращения 2–го и 4–го порядков могут дать в соединении с переносом центры вращения, отличные от точек решетки. Вращение же 6–го порядка допускает перенос центра только с одной обыкновенной точки на другую.

Что же теперь делается с осями отражения, когда к последнему присоединяется перенос? Всякий такой перенос может быть разложен на перпендикулярный к оси отражения и на параллельный к ней. Если направление переноса перпендикулярно к оси отражения, то результат будет снова отражением, но только относительно оси, проходящей через середину самого переноса. Если же перенос параллелен к оси отражения, то мы получаем скользящее отражение. В случае объединения отражения с переносом мы должны различать прямоугольную и ромбовидную решетки. В первой возможны только обычные оси (или оси скользящего отражения) с той или иной кратностью элементарному расстоянию решетки компонентов переноса по сторонам прямоугольников или через середины сторон параллельно другим сторонам. Во второй решетке кроме обычных осей отражения по параллельным прямым самой решетки возможна посредине каждых двух параллельных еще ось скользящего отражения.

e) Приведем в качестве примера на группу вращений и зеркальных отражений плоской решетки мозаику храма Изиды в Помпее (рис. 12). Чтобы разобраться в структуре этой мозаики, отбросим то, что не соответствует здесь основной симметрии. Тут мы находим в шестиугольниках круги с фигурой в пять лучей. Очевидно, единой группы вращения здесь не может получиться. Равным образом скрещенные овалы предполагают вращение на 90°; места же, на которых они находятся, вращаются только на 180°. Наконец, вверху и внизу мы находим шесть полумесяцев, которые тоже трудно объединить с общей системой вращений, Остается, стало быть, только шестиугольная рещетка, она же и ромбовидная, которую легче обозреть на такой схеме (считая, что круги с пятилучевой фигурой находятся в точках решетки).

Перед нами тут гексагональная решетка. Другими словами, перед нами тут группа вращений 6–го порядка плоской решетки. Здесь легко увидеть все, что говорилось выше о ромбовидной решетке. Тут невозможны вращения на 90°, если мы хотим, чтобы решетка совпадала с самой собой. Невозможно тут и присоединение переноса, которое бы <…>[919] центры вращения в не принадлежащие решетке точки. Зато если иметь в виду ось зеркального отражения, то она допускает не только перенос по сторонам ромбов, но и по скользящей оси посредине между двумя сторонами с половинным размером по сравнению с единичным расстоянием решетки. На рисунке чистые оси отражения проходят через центры пятилучевой фигуры, оси же скользящего отражения— через центры сплетенных овалов.

2. История орнаментики дает массу прекрасных примеров на разнообразные группы. Тут мы находим группу зеркальных отражений, группу скользящих зеркальных отражений, группу переносов, группы вращений на 60°, 90°, 120°/и 180°. G. Polya[920] перечисляет 17 разных групп, приводя соответствующую таблицу. Пользуясь этими указаниями, а также указаниями упомянутого A. Speiser'a, приведем несколько примеров из египетской орнаментики [921].

Рис. 14 дает нам прямоугольную решетку. Основная фигура повторяется тут в зеркальных отражениях. Оси симметрии совпадают с осями отражения, отстоящими одна от другой на половину решеточного расстояния. Схемой этой группы служит рис. 15.

Рис. 16 дает ромбовидную решетку типа схемы рис. 17. Основная фигура орнамента обладает средней точкой, через которую проходят две оси отражения. Решетка переносов лучше всего видна на розетках. Через лилии проходят горизонтально простые и скользящие оси. Вертикальные оси также смешанные. Скользящие оси—между лилиями.

Орнамент рис. 18 построен по схеме 19. Здесь основная фигура возникает из фигуры с центром через отражение относительно оси, не проходящей через этот центр. Оси симметрии, параллельные к ней, суть только простые оси отражения, перпендикулярные же—только скользящие оси. В орнаменте можно отбросить основные завитки: получится фигура с той же группой симметрии, типа рис. 20, но с вертикальным переносом. Наоборот, если оставить одни завитки, то группа продолжает быть точно указанного типа (рис. 19), который можно получить из рис. 21 с продолжением отражения.

На рис. 22 мы находим группу вращений на 90° без всяких отражений. Это квадратная решетка с основной фигурой, допускающей только указанное вращение, и ничего более. Ее схема—рис. 23.

Менее интересен орнамент рис. 24 с основной фигурой, обладающей вращением на 90° и четырьмя осями отражения, которые проходят через ее центр, наподобие креста с равными концами. Здесь, так сказать, слишком «буквальные» отражения. Гораздо сложнее зато орнамент на рис. 25. Тут основная фигура возникает из фигуры с вращением в 90° через отражение относительно оси, не проходящей через центр. Оси симметрии, параллельные к сторонам квадратов, являются осями отражения, но только они не проходят через неподвижные точки вращений, проходя посредине между ними. Обе совокупности других осей состоят только из осей скользящего отражения. Решетка переносов здесь тоже квадратная, хотя ее и не сразу видно (нужно повернуть рисунок на 45°, и тогда станет заметным квадрат со сторонами, проходящими через четыре средние точки). В орнаментах это обычно. В заключение прибавим еще два примера из восточного искусства, Один [922], рис. 26, — это группа вращений в 60° с 6 складными <…>.[923]

осями. Основной фигурой является здесь нечто вроде бантика трилистника, который, однако, не сразу выделяется. Этот замечательный образец относится к XIV в. (мечеть в Каире). Другой такой же замечательный образец восточной орнаментики [924]—рис. 27. Основную фигуру и тут не сразу рассмотришь—простой крест с 16–кратной симметрией. Тут мы находим группу вращений в 90°, потом четыре вида осей отражения, потом еще восемь дальнейших симметрий, соединенных с отражениями, т. е. скользящие отражения в плоскости, которые перемещают один на место другого оба ряда лежачих крестов. Что же касается вращений, то тут мы находим вращательные отражения вокруг центров розеток с углами в ±90°; горизонтальные и вертикальные винтовые оси между розетками; две группы простых витых осей, повернутых на 45° по сравнению с предыдущими и проходящих через центр розеток; и вращательные отражения на 180° (пространственный центр симметрии) вокруг средних точек концов крестов.