III. Бытие и инобытие, при всем своем противопола–гании, при всей несовместимости, должны быть положены как обычный акт, должны синтезироваться в некоем безразличном тождестве. Мы уже знаем, что в диалектике это есть граница и очерченность, а также и вообще расчерченность, заполненность формами, образность. Число должно быть раздельность и счетность раздельных моментов. Континуум и геометрические фигуры должны дать заполненность этих раздельно–счетных моментов некоей смысловой материей, материей геометрического континуума. Синтез требует, чтобы число геомет–ризировалось и геометрия стала числовой.

Когда число, оставаясь числом, геометризируется, это значит, что оно становится смысловой, умной фигурно–стью. Число, «состоя» из своих единиц, мыслится в арифметике, алгебре и анализе вне всякой своей фигурности, вне той или иной расставленности этих составных единиц. Считая, напр., пять единиц, входящих в число пять, мы совершенно не принимаем во внимание характера «расстояний», залегающих между этими отдельными единицами. И это было бы в данном случае даже бессмысленным. Однако мы можем представить себе, что эти расстояния тут разные, что из комбинации этих разных расстояний и направлений получается вполне определенная умственная фигура. Спрашивается: от чего может зависеть эта разность «расстояний» и «направлений»? От числа как такового, т. е. чистых актов полагания, это совершенно не зависит, так как они везде одни и те же независимо ни от «расстояний», ни от «направлений». Зависеть это может только от другого принципа, от иноприродного принципа, от принципа уже не счетного, а наполняющего, направляющего и как бы напрягающего или вытягивающего эту счетность. Это и есть принцип континуума. Таким образом геометризируется число. Оно становится умственной фигурностью. С другой стороны, в этом синтезе не только число должно геометри–зироваться, но и геометрия должна стать числовой. Как это может произойти? Это не может произойти так, чтобы геометрическая фигура оставалась сама по себе, а мы только завели бы ее числовой коррелят. Так именно и обстоит дело, напр., в аналитической геометрии. Здесь мы имеем какую–нибудь параболу и находим ее уравнение, т. е. переводим ее на язык чисел. Ни парабола, взятая чисто геометрически, не дает никакого представления об ее уравнении, ни данное уравнение параболы (у = ах2}, взятое как таковое, нисколько не говорит ни о какой кривой, а есть самая обыкновенная отвлеченная функция. Тут просто перевод с одного языка на другой; и тождественным в том и другом является только момент счетности, отвлеченной количественной оформлен–ности данной кривой и данной функции. Поэтому аналитическая геометрия (и никакая вообще геометрия, если она остается геометрией) не может дать искомого нами синтеза числа и континуума и должна быть отнесена к сфере континуально–геометрического инобытия числа, не больше того.

Полный синтез (а всякий диалектический синтез есть полное и абсолютное слияние и тождество тезиса и антитезиса) требует, чтобы получилось не тождество в том или другом отношении между числом и континуумом (такое тождество есть просто различие, а не тождество), но абсолютное тождество, субстанциальное тождество того и другого. В предыдущем случае число (функция) остается само по себе, и кривая остается сама по себе, и тождество между ними не субстанциальное, но отвлеченно–смысловое: по функции (если ее брать как функцию, не привнося в нее никакого иного толкования) нельзя догадаться, что речь идет о данной кривой, а в кривой, если ее брать чисто оптически–геометрически, нельзя вычитать никакого уравнения. Здесь же, в этом полном синтезе, рассматривая данную структуру, мы уже не находим в отдельности число и в отдельности его континуальное инобытие, а видим то, в чем то и другое пребывает неразличимо.

Это есть то, что в современной математике носит название множества[119]. Множество как раз есть некая умственная фигурность, где число состоит из разнообразно взаимоотносящихся элементов и где континуум преобразован в некую специально «упорядоченную» последовательность. Наука эта есть наука о множествах, созданная гением Ieopra Кантора. Правильно говорится, что здесь мы имеем наиболее общее представление числа, так как все, напр., арифметические свойства числа дедуцируются из понятия множества как частный случай.

Такое число уже нельзя назвать ни интенсивным, ни экстенсивным числом. Это фигурное число как синтез интенсивной значимости и экстенсивного инобытия. Эта значимость осуществлена в этом инобытии, и получается новая форма числа, которую можно назвать эйдетическим числом (эйдос — вид, фигура). Соответствующую науку можно назвать аритмологией. Это число для себя.

IV. Наконец, все три рассмотренные типа числа находят свое завершение в четвертом типе. Эйдос, являясь завершением и зримым продуктом сущности числа, не есть еще вся фактическая действительность числа. Числу–эйдосу противостоит бесконечная и темная действительность, которая также требует своего числового оформления. Разумеется, эйдос тоже оформляет действительность, но это оформление касается ее более или менее идеальных сторон. Эйдос—гоже действительность, но это действительность сущности. В § 9 мы так и практиковали арифметику (с алгеброй и анализом) как «сущность», геометрию — как «явление», теорию множеств — как «действительность». Но эта «действительность» была все же действительностью в ее сущности, а не в ее факте. Существует действительность как факт, и вот это–то и не фиксируется теорией множеств, какой бы наглядностью она ни обладала и как бы ни была ближе к жизни, чем арифметика и геометрия. Факты должны быть зафиксированы в числе как факты, т. е. во всей их путаной случайности и неразберихе. Число вне оформления бытия как фактической действительности всегда несет с собою известную долю случайности и вероятности в отличие от чистого числа, которое очень далеко от конкретной действительности и потому максимально аподиктично. Следовательно, тут должна быть особая математическая наука и должна быть особая сфера числа. Это число есть математическая вероятность, и соответствующая наука есть исчисление вероятностей.

Только на почве этой последней науки возможны все завершительные и выразительные формы математики, но не на почве интенсивно–экстенсивно–эйдетического числа.

3. Таковы четыре основные области философии числа, построенной в виде диалектических оснований математики.

I. Интенсивное число, число в себе. Арифметически–алгебраически–аналитическое построение числовой системы.

II. Экстенсивное число, число вне себя. Континуально–геометрическое построение числовой системы.

III. Эйдетическое число, число для себя. Аритмологи–ческое построение числовой системы.

IV. Фактическое (прагматическое) число, число для иного. Теоретико–вероятное построение числовой системы.

I. ЧИСЛО ИНТЕНСИВНОЕ ВСТУПЛЕНИЕ § 81. Разделение.

1. «Число в себе» есть сложная область числовых конструкций, объединенных принципом чистого полагания, без перехода в область, абсолютно–инобытийную в сравнении с чистым полаганием. Это чистое полагание, однако, в свою очередь может быть рассматриваемо с самых различных точек зрения. Мы уже хорошо знаем, что решительно каждая категория может быть с любой степенью детализирована путем введения в нее или, вернее, путем повторения в ней всех прочих категорий. Кажется, категория отражает на себе все другие категории диалектической системы, и только изучение возникающих тут структур и делает понимание данной категории вполне конкретным. Теперь и возникает необходимость разделения общей области числа в себе согласно обычным диалектическим делениям, из которых основным делением, конечно, является триадное деление (бытие, инобытие и становление).