3. Имея все это в виду, попробуем дать более точное логическое раскрытие понятия предела. Способов такого раскрытия несколько, и тут возможно употребление самых разнообразных категорий. Предлагаемая нами конструкция отнюдь не единственная и, вероятно, не наилучшая, так как вопрос этот почти не обсуждается в логике; и дружная разработка его, конечно, тотчас же обнаружила бы и другие, более совершенные подходы. Однако за отсутствием исследований этого вопроса в философии попробуем дать тут некоторое логическое построение с единственной претензией — только на первое приближение к истине.

Первое, что представляется нам тут очевидным, это то, что предел вовсе не есть ни только конечная, ни только бесконечная величина. Хотя всегда было и много охотников свести предел на конечное число на том основании, что он фактически может быть конечным числом, это есть, само собой разумеется, просто устранение самой проблемы. Когда мы имеем то или иное число натурального ряда, мы, конечно, вовсе не имеем никакого понятия предела и не нуждаемся в нем. Предел интересен вовсе не своей конечностью. Предел, какой бы величиной сам по себе он ни был, интересен тем именно, что он есть предел, граница—для чего? Для некоторого бесконечного непрерывного процесса. Если нет того, что стремится к пределу, нет и самого предела. Однако что такое это стремление? Оно не может быть рядом конечных и взаимно изолированных величин. Это было бы не стремлением, а мертвым покоем. Следовательно, здесь необходима именно непрерывность. И потому предел есть синтез конечного и бесконечного в абсолютно неделимом и непрерывном смысле: он есть и нечто устойчивое, определенное, конечное и в то же время требует некоего процесса, стремления, протекания, но—так, что в результате он есть некая совершенно неделимая цельность и единичность, без всяких разрывов и различий.

Это первое, что бросается в глаза при рассмотрении понятия предела. Но это только начало рассмотрения. Дело в том, что тут еще нет предела в том инфинитезимальном смысле, какой нам нужен в этой работе. В таком общем виде синтез конечного и бесконечного дается и в других математических науках, от которых нам сейчас предстоит отграничиться.

В самом деле, разве самое обыкновенное число из натурального ряда чисел не есть синтез конечного и бесконечного? Несомненно. Ведь мы же можем его делить до бесконечности. И совершенно ничто не мешает нам представлять себе, напр., ту же единицу или двойку как составленные из бесконечного числа дробных элементов. Разумеется, эта бесконечность таится решительно во всяком числе натурального ряда, и все–таки это — арифметика, а не математический анализ.

Существует по крайней мере три разных математических способа синтезировать конечное с бесконечным.

Во–первых, этот синтез может быть дан конечными средствами в конечном, в пределах конечного. Тут перед нами самое обыкновенное арифметическое число, т.е. такое, каким мы его знаем из элементарной арифметики. Тут бесконечность содержится внутри конечного, и тем самым не во всей своей свободе и независимости, но лишь как оформление конечного, т. е. как сплошное заполнение всегда наличных в нем разрывов.

Во–вторых, этот синтез конечного и бесконечного дается в математике еще и средствами бесконечного, т.е. мы получаем тут синтез конечного и бесконечного в бесконечном. При таком условии теперь уже конечное теряет свою свободу и независимость и становится только оформлением бесконечного, т. е. тем, что вносит в его неразличимость и непрерывность ту или другую оформленность, различимость, прерывность, упорядоченность. Таково трансфинитное число, которое есть всегда бесконечное множество, однако — не просто внутреннее сплошное и неразличимое, но—определенным образом оформленное, различимое, определенное и в этом смысле конечное. Если в арифметическом числе бесконечное находится на службе у конечного и никуда не выходит за его пределы, то в трансфинитном числе конечное находится на службе у бесконечного и за его пределами не имеет никакого самостоятельного существования.

В–третьих, синтез конечного и бесконечного еще дается в математике и так, что конечное и бесконечное сливаются в общий неразличимый поток, в общее сплошное становление, нисколько не перевешивая друг друга, а входя в этот синтез вполне равномерно и на одинаковых правах. Это есть инфинитезимальная величина, т.е. то бесконечно–малое, которое мы и определяли выше как непрерывный процесс, как такое малое, которое может стать меньше заданной величины, как такое нарастание, которое стремится к нулю и как угодно мало от него отличается.

Эти три синтеза конечного и бесконечного в математике — арифметический, трансфинитный и инфинитезимальный—настолько ярко выражены в математике и представляют собою настолько обычное в ней явление, что никаких споров по этому предмету, кажется, не может быть.

Но что это дает нам для логической теории пределов? Мы видим, что проблема предела значительно усложнилась и что предел этот можно понимать по крайней мере в трех разных смыслах. При этом нас в этом исследовании интересует, как сказано, только предел в инфинитезимальном смысле. Что же такое предел как инфинитезимальная категория?

Очевидно, раз инфинитезимальная точка зрения базируется на бесконечно–малом, из этого бесконечно–малого мы и должны тут исходить. При исследовании предела в инфинитезимальном смысле мы должны исходить из бесконечного и непрерывного становления, и больше не из чего другого. Мы должны тут оперировать становлением, не внося в него ровно никакого разделения или различения. А какие это операции, это совершенно не касается самого становления. Эти операции могут быть и конечными, прерывными.

Попробуем провести здесь то же разделение, которое мы проводим и в отношении синтеза конечного и бесконечного вообще. А именно, наше сплошное и непрерывное числовое становление мы можем понимать конечно, бесконечно и в виде непрерывного процесса. Или, употребляя ходовые термины диалектической логики, мы можем это становление понимать как бытие (т. е. акт самополага–ния, самоутверждения), как становление и как ставшее (как «наличное бытие», как исчерпавшее всю сферу становления и потому «остановившееся»). Ниже мы увидим, что числовое становление как акт бытия есть дифференциал; числовое становление как именно становление (т. е. как положенное становление) есть непрерывность бесконечно–малого и числовое становление как исчерпавшее себя целиком и потому остановившееся, т. е. числовое становление как ставшее, есть интеграл. Однако сейчас мы еще далеки от исследования этих сложных категорий и пока интересуемся только пределом. Но интеграл, как мы увидим в своем месте, и есть некоторого рода предел (какой именно—сейчас не важно). Другими словами, предел в инфинитезимальном смысле есть не что иное, как числовое ставшее, а ставшее предполагает и то, что именно становилось, и само становление. Поэтому синтез конечного и бесконечного, находимый нами в пределе, содержит в себе два пласта: во–первых, это есть синтез по типу становления (тут наш предел отличается и от арифметического, и от трансфинитного); а во–вторых, в сфере этого становления синтез конечного и бесконечного произведен по типу ставшего. И следовательно, предел в инфинитезимальном смысле есть такой синтез конечного и бесконечного, который дан как непрерывное становление, но целиком исчерпавшее себя или как само непрерывное становление, но—в простом тождестве с собою, без своего рассыпания и размыва на отдельные моменты. Поэтому предел здесь как бы вобрал в себя всю бесконечность непрерывных приближений к себе и держит их в одной неделимой точке.

Вот почему предел есть обязательно закон для стремления к нему приближенных величин, метод этого движения, или, попросту говоря, направление этого движения, общее направление его, то, что содержит в себе всю эту бесконечность индивидуальных приближений. Это потому, что он — ставшее; и это потому, что он — становление; и это потому, что он—устойчивое ставшее непрерывного и бесконечного становления, становление как целое. Невозможно себе и представить, чем оказалось бы общее цельное, родовое без этого учения о пределе. Сама категория закономерности, или закона, повисла бы в воздухе, если бы мы не обладали категорией предела. Только при полном прекращении всякого движения в материи, всякого ее становления можно было бы не пользоваться категорией предела. Но тогда во что же превратилась бы всякая общность, всякая цельность? Разве она не превратилась бы в механическую сумму, во внешнее насилие над абсолютно враждебными друг в отношении друга телами, из которых каждое отвергало бы и исключало всякое другое и уж тем более всю совокупность этих других? Вот почему и немыслима современная математика без теории пределов. Как же в таком случае мы можем строить логику без теории пределов, если логика есть только «итог опыта наук» (Ленин)?

5. ЛЕНИН О ПРЕДЕЛЕ, ОБ ОБЩЕМ И О ЗАКОНЕ