В–третьих, синтез конечного и бесконечного еще дается в математике и так, что конечное и бесконечное сливаются в общий неразличимый поток, в общее сплошное становление, нисколько не перевешивая друг друга, а входя в этот синтез вполне равномерно и на одинаковых правах. Это есть инфинитезимальная величина, т.е. то бесконечно–малое, которое мы и определяли выше как непрерывный процесс, как такое малое, которое может стать меньше заданной величины, как такое нарастание, которое стремится к нулю и как угодно мало от него отличается.

Эти три синтеза конечного и бесконечного в математике — арифметический, трансфинитный и инфинитезимальный—настолько ярко выражены в математике и представляют собою настолько обычное в ней явление, что никаких споров по этому предмету, кажется, не может быть.

Но что это дает нам для логической теории пределов? Мы видим, что проблема предела значительно усложнилась и что предел этот можно понимать по крайней мере в трех разных смыслах. При этом нас в этом исследовании интересует, как сказано, только предел в инфинитезимальном смысле. Что же такое предел как инфинитезимальная категория?

Очевидно, раз инфинитезимальная точка зрения базируется на бесконечно–малом, из этого бесконечно–малого мы и должны тут исходить. При исследовании предела в инфинитезимальном смысле мы должны исходить из бесконечного и непрерывного становления, и больше не из чего другого. Мы должны тут оперировать становлением, не внося в него ровно никакого разделения или различения. А какие это операции, это совершенно не касается самого становления. Эти операции могут быть и конечными, прерывными.

Попробуем провести здесь то же разделение, которое мы проводим и в отношении синтеза конечного и бесконечного вообще. А именно, наше сплошное и непрерывное числовое становление мы можем понимать конечно, бесконечно и в виде непрерывного процесса. Или, употребляя ходовые термины диалектической логики, мы можем это становление понимать как бытие (т. е. акт самополага–ния, самоутверждения), как становление и как ставшее (как «наличное бытие», как исчерпавшее всю сферу становления и потому «остановившееся»). Ниже мы увидим, что числовое становление как акт бытия есть дифференциал; числовое становление как именно становление (т. е. как положенное становление) есть непрерывность бесконечно–малого и числовое становление как исчерпавшее себя целиком и потому остановившееся, т. е. числовое становление как ставшее, есть интеграл. Однако сейчас мы еще далеки от исследования этих сложных категорий и пока интересуемся только пределом. Но интеграл, как мы увидим в своем месте, и есть некоторого рода предел (какой именно—сейчас не важно). Другими словами, предел в инфинитезимальном смысле есть не что иное, как числовое ставшее, а ставшее предполагает и то, что именно становилось, и само становление. Поэтому синтез конечного и бесконечного, находимый нами в пределе, содержит в себе два пласта: во–первых, это есть синтез по типу становления (тут наш предел отличается и от арифметического, и от трансфинитного); а во–вторых, в сфере этого становления синтез конечного и бесконечного произведен по типу ставшего. И следовательно, предел в инфинитезимальном смысле есть такой синтез конечного и бесконечного, который дан как непрерывное становление, но целиком исчерпавшее себя или как само непрерывное становление, но—в простом тождестве с собою, без своего рассыпания и размыва на отдельные моменты. Поэтому предел здесь как бы вобрал в себя всю бесконечность непрерывных приближений к себе и держит их в одной неделимой точке.

Вот почему предел есть обязательно закон для стремления к нему приближенных величин, метод этого движения, или, попросту говоря, направление этого движения, общее направление его, то, что содержит в себе всю эту бесконечность индивидуальных приближений. Это потому, что он — ставшее; и это потому, что он — становление; и это потому, что он—устойчивое ставшее непрерывного и бесконечного становления, становление как целое. Невозможно себе и представить, чем оказалось бы общее цельное, родовое без этого учения о пределе. Сама категория закономерности, или закона, повисла бы в воздухе, если бы мы не обладали категорией предела. Только при полном прекращении всякого движения в материи, всякого ее становления можно было бы не пользоваться категорией предела. Но тогда во что же превратилась бы всякая общность, всякая цельность? Разве она не превратилась бы в механическую сумму, во внешнее насилие над абсолютно враждебными друг в отношении друга телами, из которых каждое отвергало бы и исключало всякое другое и уж тем более всю совокупность этих других? Вот почему и немыслима современная математика без теории пределов. Как же в таком случае мы можем строить логику без теории пределов, если логика есть только «итог опыта наук» (Ленин)?

5. ЛЕНИН О ПРЕДЕЛЕ, ОБ ОБЩЕМ И О ЗАКОНЕ

1. Задержимся еще на некоторое время на этом вопросе, чтобы больше привыкнуть к этой теории мышления с точки зрения учения о пределах. Дурные привычки неподвижной формальной логики, оперирующей с понятиями в виде каких–то инертных глыб или булыжников, держат логику на ступени колоссальной отсталости от науки, почему и указание некоторых трафаретных фактов из науки будет здесь совершенно нелишним. Понимает ли наука понятие как предел некоей последовательности или как закон некоего ряда, некоторой последовательности отдельных чувственных элементов? Конечно, да. Для этого даже нет необходимости забираться в математический анализ, а достаточно простой арифметики (только арифметики, разумеется, уже не конечных величин), достаточно элементарной механики или физики. Попробуем укрепить свое логическое понимание мышления на этих простейших примерах. Общее для нас не есть что–нибудь целиком оторванное от частного и индивидуального. Оно есть закон для него и, значит, охватывает всех его представителей, имеющих отношение к этому общему. Укрепиться на таком понимании общего совершенно необходимо — тогда и метод бесконечно–малых станет совершенно ясным и непререкаемым для логики.

2. Во всех этих построениях невозможно не привлекать учения Ленина об общем в связи с учением о законе и отношении. Ленин весьма похвально отзывается о соединении общего и частного у Гегеля. «Прекрасная формула: «не только абстрактно всеобщее», но всеобщее такое, которое воплощает в себе богатство особенного, индивидуального, отдельного (все богатство особого и отдельного!) великолепно!» (Филос. тет. 99). Но мало этого. Понимая «общее» как «сущность» (277), Ленин мыслит его конкретно именно как закон для соответствующего частичного. «Родовое понятие есть «сущность природы», есть закон…» (275); тут же заметим, что, по Энгельсу, тоже «форма всеобщности в природе есть закон» (Диал. прир. 188), а «закон есть отражение существенного в движении универсума» (Ленин. 148), т. е. «закон есть отношение… отношение сущностей или между сущностями» (150); и при всем том, конечно, «закон берет спокойное и — поэтому закон, всякий закон узок, неполон, приблизителен» (и в этом указании Гегеля на «спокойствие» Ленин видит «замечательно материалистическое и замечательно меткое определение» (148)). Но мало и этого. Ленин, несомненно, мыслит общее и конкретное именно как бесконечную сумму менее общих достижений. Общее «только и есть ступень к познанию конкретного, ибо мы никогда не познаем конкретного полностью». «Бесконечная сумма общих понятий, законов etc. дает конкретное в его полноте» (285). При этом очень ценно у Ленина как раз чувство приблизительности и относительности всею отдельного, равно как и всего общего при нерушимой закономерной связи того и другого; и это–то особенно роднит его с учением о пределах и бесконечно–малом. Замечательно говорит Ленин (327): «Значит, противоположности (отдельное противоположно общему) тождественны: отдельное не существует иначе как в той связи, которая ведет к общему. Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее. Всякое общее лишь приблизительно охватывает все отдельные предметы. Всякое отдельное не полно входит в общее и т. д. и т. д. Всякое отдельное тысячами переходов связано с другого рода отдельными (вещами, явлениями, процессами)». «…Естествознание показывает нам (и опять–таки это надо показать на любом простейшем примере) объективную природу в тех же ее качествах, превращения отдельного в общее, случайного в необходимое, переходы, переливы, взаимную связь противоположностей» (там же; подчеркивание в обеих цитатах наше). Интегральная природа общего, общее (и в том числе общее понятие) как предел суммы бесконечно–малых приращений вообще очень ярко чувствуется марксизмом. «Совпадение понятий с «синтезом», суммой, сводной эмпирией ощущений, чувств несомненно для философов всех направлений», — пишет Ленин (291). И наконец, если вспомнить еще и замечательное учение Энгельса (Диал. прир. 178): «Общий закон изменения формы движений гораздо конкретнее, чем каждый отдельный «конкретный» пример этого», то станет совершенно ясным, что с нашей точки зрения общее должно быть 1) пределом для всего частного, которое никогда не может его достигнуть, но вечно достигает его с любой точностью, 2) законом его образования и последовательности, или принципом его конкретного развертывания, а это значит, что и 3) наиболее конкретным выражением существенных отношений и закономерностей, царствующих в природе и обществе.

3. И вот это–то прекрасное учение обывательская мысль всегда была склонна опошлять и превращать в пустую фразу. В противоположность этому необходимо со всей энергией выставить понимание общего, или понятия, именно как предела, как закона, как принципа, как метода для всего индивидуального, чтобы это чувственное, отдельное, индивидуальное не погибло (в сенсуализме оно гибнет еще больше, чем в абстрактной метафизике), но сохранилось на лоне общего, как и общее на лоне этого индивидуального, со всеми мельчайшими оттенками этого индивидуального. Чтобы это не превратилось в фразу, мы и предлагаем взять образцы из самых точных наук и убедиться, что подлинно научные понятия строятся именно таким образом (хотя, конечно, в науке всегда остается множество и таких понятий, которые еще очень далеки от такого логического совершенства). Те, кто так часто твердит о «конкретности» общего, и не подозревают, в какой мере их рассуждение абстрактно. Только окунувшись в конкретную науку, можно понять, до какой степени конкретно, до какой степени ярко, до какой степени ослепительно вышеприведенное учение Ленина о закономерности и конкретности общего понятия.

6. ПРИМЕРЫ ИЗ НАУК

Итак, приведем несколько примеров из конкретной науки, относящихся к «предельному» пониманию логического мышления.

Возьмем такое математическое понятие, как «корень», напр. «квадратный корень». Это простейшее понятие есть прекрасный пример для иллюстрации того, что такое понятие как конкретная общность, т. е. как принцип ряда. Возьмем, напр., √2 или √3. Этими кратчайшими установками дан закон, или принцип, для бесконечно–большого количества действия и десятичных знаков, причем общность этого «квадратного корня из двух» или «квадратного корня из трех» заключается не в фиксации того, что обще всем получаемым здесь десятичным знакам (это было бы бессмыслицей), но в фиксации точного закона получения числа с любым количеством десятичных знаков. Для числа, из которого извлекается корень, точно, это было бы законом получения строго определенного количества знаков. — Возьмем то, что в математике называется специально рядом, напр. ряд Тейлора, который в элементарной алгебре дается обычно в виде т. н. бинома Ньютона, т. е. в виде двучлена любой степени. Уже школьник, изучивший алгебру, может очень легко получить любой член из возникающего здесь ряда, пользуясь формулой общего члена ряда, для которой нужно знать только порядковый номер члена ряда. Что это значит? Это значит, что имеется некая математическая структура —формула, которая обща для всех членов известного ряда величин, но обща не в виде понятия, никак не связанного с отдельными членами этого ряда, но в смысле общей формулы, общего закона, или принципа, дающего возможность опознать именно отдельные члены ряда, и притом любые.

Приведем примеры из механики. Всем известно, что значит «висеть», «вешать». Вот висят портреты, картины, часы, белье на дворе, одежда на вешалке и т. д. и т. д. Нет ничего проще, как вывести отсюда и общее понятие о висении. Но вот как поступает механика. Возьмем какой–нибудь определенный вид висения—напр., висения веревки, привязанной за оба конца, т. е. т. н. цепную линию. Оказывается, что направление, изгибание этой линии подчиняется точному закону и принципу, именно принципу гиперболического косинуса. Зная этот принцип, можно определить положение любой точки этой линии и, значит, целой бесконечности таких точек. Следовательно, цепная линия есть действительно логическое понятие, а не общее представление, и оно содержит в себе принцип для бесконечного количества отдельных индивидуальных моментов. — Возьмите понятие падения тела. Сколько бы миллионов раз мы ни наблюдали падение тела, мы никогда не получим понятия падения и будем барахтаться только в области представления о падении, если не реформируем самую природу понятия. Гении, создававшие механику, имели — хотя, может быть, и бессознательно — именно это тонкое и реформированное учение о понятии, а не вульгарное и ползуче–эмпирическое. Дело в том, что имеется опять–таки формула свободного падения тела в пустоте; она дает возможность определить положение падающего тела опять–таки в любой момент его падения, если известны начальный пункт, начальная скорость и ускорение силы тяжести. Это, кроме того, значит также и то, что строго научное и, в частности, логическое понятие есть всегда еще и принцип известного бесконечного ряда подпадающих под его понятие единичных предметов.