В 80-х годах XVI века Джордано Бруно защищает в Сорбонне свой платонизированный вариант универсального исчисления. Сама эта традиция восходит еще к тому образу математики, который культивировался в древних цивилизациях Египта, Вавилона, Индии. Здесь математическое знание выступает, в основном, не как совокупность теорем, а как набор определенных алгоритмов, позволяющих решать те или иные задачи.

В арабской средневековой математике этот подход начинает приобретать вид некоторого исчисления, прообраза нашей алгебры. Западная Европа воспринимает традицию античной математики через арабов, именно с этой алгебраической прививкой.[177] То новое, что сделал Декарт в своей Геометрии, есть систематическое сведение задач геометрии к алгебре.

Декарт дает общую схему решения задач геометрии с помощью алгебраических уравнений и утверждает, что те задачи, которые не могут быть решены предлагаемым методом — не могут быть решены вообще, не принадлежат сфере точного знания. Вспомним общую идею декартовского подхода:     ГЕОМЕТРИЯ     Задача Решение         АЛГЕБРА     Уравнение I Уравнение II     Решение геометрической задачи(горизонтальная стрелка)

достигается посредством сведения геометрической задачи к уравнению(стрелка вниз к Уравнению I), преобразования уравнения к простейшей форме — решение уравнения(двойная стрелка к Уравнению II), и интерпретации этого решения в геометрических терминах(стрелка вверх от Уравнения II к Решению). Тем самым, как бы все множество геометрических задач отображается на множество уравнений и чисто алгебраических проблем, связанных с их решениями.

Декарт, повторяем, не только дал примеры эффективного применения этого метода, но и объяснил его общие моменты:как составлять уравнение, как сводить одни уравнения к другим, более низкого порядка, как интерпретировать простейшие уравнения и т.д. Существенной предпосылкой метода было систематическое проведение метрической точки зрения:отрезки определялись их длиной, точки — их расстояниями до фиксированных прямых («декартовы координаты»).

С этой стороны, метод представлял собой определенное исчисление отрезков, аналогичное арифметическому исчислению для чисел(с установления этой аналогии и начинается Геометрия Декарта). Эти аналогии были известны, конечно, еще математикам античности. Но никто на этом основании не дерзал сближать арифметику и геометрию. Для античной науки геометрия имела особый гносеологический статус, более низкий по отношению к арифметике.

Причины этого лежали в античной философии математики:арифметика оперирует числом, более интеллектуальной сущностью, чем предмет геометрии — пространство. Декарт объединяет арифметику и геометрию в общую науку на основании операционального сходства их предметов. Эта более общая наука, занимающаяся уже не только числом или протяженностью, а свойствами операций над ними и называется алгеброй.

Алгебра в этом смысле выступает как абстрактная алгебра, как наука, систематически изучающая не некии реальности, а отдельные выделенные свойства этих реальностей, безотносительно к целостности последних. Популярность декартовского метода в XVII столетии, в целом, неизменно возрастала. Простота и эффективность метода(но лишь для некоторого класса задач!) обеспечили ему много защитников.

Однако, отнюдь не все ученые соглашались с естественностью этого метода, с тем, что он выражает саму природу геометрического знания. Здесь характерна позиция И.Ньютона. Ньютон сам виртуозно владел методом аналитической геометрии, о чем ярко свидетельствуют его физико-математические сочинения. Однако Ньютон не считал, что алгебраические методы адекватно выражают природу геометрии.

Ньютон, вообще, говорил, что «алгебра — это анализ сапожников в математике». Чтобы понять суть возражений Ньютона, рассмотрим один пример. Пусть, нужно доказать теорему о биссектрисе внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Обычно для доказательства теоремы делают дополнительные построения:продолжают АВ, откладывают BD=ВС, соединяют D с С:     АМ АВ МС ВС       Рассматривая некоторые углы этой конфигурации делают вывод о параллельности ВМ и DC, а из параллельности легко получается искомое соотношение.

Понятно, что подобное доказательство невозможно получить с помощью метода аналитической геометрии. Невозможно просто потому, что метод не позволяет получать какие-то дополнительные построения:метод просто вычисляет. Обычный, то есть практиковавшийся с античности метод в геометрии(в противовес методу аналитической геометрии его называют синтетическим)

оставляет место возможности новых подходов — проведению новых линий и усмотрению новых соотношений. Метод же Декарта скрывает все это богатство интуитивных возможностей за формализмом алгебраических уравнений. Чуткие умы почувствовали это уже в XVII веке. Ньютон, оспаривая претензии декартовского метода на универсальную значимость, писал:»Уравнения суть выражения арифметических вычислений, и они, собственно говоря, не имеют места в геометрии...

Умножения, деления и тому подобные вычисления введены были в геометрию недавно и при этом неосторожно и в противоречии с основной целью этой науки. Всякий, кто рассмотрит построение задачи с помощью прямой и круга, найденные первыми геометрами, легко увидит, что геометрия была изобретена для того, чтобы мы, проводя линии, могли с удобством избегать утомительных вычислений.

Поэтому не следует смешивать эти две науки. Древние столь тщательно отличали их друг от друга, что никогда не вводили в геометрию арифметические термины. Современные учения, смешивая обе науки, утратили простоту, в которой состоит све изящество геометрии. Арифметически проще то, что определяется при помощи более простых уравнений, геометрически же проще то, что определяется при помощи более простого проведения линий;и в геометрии следует считать лучшим то, что наиболее просто с геометрической точки зрения»[178] .