Главным здесь является принцип непрерывности Лейбница или, более точно, некоторое конкретное его выражение: принцип законопостоянства. «Принцип же этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь», — формулирует этот принцип Лейбниц в письме к королеве Пруссии Софии-Шарлотте[rrrrr] . Принцип этот применяется к бесконечному, т.е.

утверждается, что «на бесконечности» все будет происходить так же, как и в конечном. Именно этот постулат позволяет Лейбницу рассматривать «бесконечно малые треугольники» в дифференциальном исчислении в одном ряду с конечными, настаивать на справедливости преформистской доктрины в эмбриологии и утверждать в метафизике существование непрерывной шкалы расположенных в направлении возрастания совершенства монад, идущей от «непробужденных» монад минералов, через растения, животных и человека вплоть до высшей субстанции... до Самого Бога.

Принцип законопостоянства, тесно связанный с лейбницевским приципом достаточного основания, как бы «связывает» божественную волю с божественной мудростью и, устанавливая тотальную логическую когерентность мира, не оставляет ни единой возможности для каких-либо онто-логических «зияний», будь то случайное событие или чудо... Новых существенных инициатив в деле «приручения» бесконечности пришлось ждать после Лейбница почти 200 лет. С 70-х годов XIX столетия Г.

Кантор начинает печатать свои работы по теории множеств. Кантор строит особые бесконечные числа (ординалы) и их арифметику. Основные свои работы Кантор написал в рамках «наивной» теории множеств, исходя из представления о самоочевидности основного понятия множества. Однако достаточно быстро выяснилось, что в этом, казалось бы, «самоочевидном» понятии скрыты довольно глубокие проблемы, а в «наивном» подходе к понятию множества — серьезные утверждения о бесконечности, смысл которых при более внимательном рассмотрении оказывается глубоко проблематичным.

Аксиоматизация теории множеств выявила эти фундаментальные предпосылки наших построений с бесконечностью, эти постулаты, которые и необходимы нам для «естественного» развития теории и которые, в то же самое время, остаются в высшей степени загадочными. Одно из таких положений — знаменитая аксиома выбора. Формулировка ее достаточно проста: если дано некоторое (бесконечное)

множество множеств, то можно составить новое множество, взяв из каждого данного только по одному элементу. Это, на первый взгляд, простое утверждение при более внимательном рассмотрении оказывается крайне непонятным. Как выбрать один из элементов произвольного множества? Если бы, например, это множество было упорядоченным, то мы могли бы взять наименьший (если он существует)

элемент этого множества оносительно заданного порядка. Однако процедура упорядочивания множества сама, как раз, и опирается на аксиому выбора. С другой стороны, как делать эту последовательность выборов во времени? Если не во времени, то как тогда?.. С какого множества мы должны начать?..[sssss] Попытки ответить на все эти вопросы сами порождают сложные проблемы.

А, в то же самое время, аксиома выбора необходима для доказательства фундаментального положения теории множеств: сравнимости любых мощностей множеств. Кроме того, аксиома выбора явно или неявно используется во многих положениях математического анализа (лемма Больцано-Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности любой ограниченной последовательности, теорема Коши о конечных приращениях, теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и т.д.)

Поэтому мы вынуждены сохранять эту аксиому в качестве некоторого постулата нашего познания, полностью осознавая нашу «навязчивость» в отношении бесконечного... Примеров подобной навязчивости история становления теории множеств знает немало. Один из самых знаменитых — это континуум-гипотеза. Кантор очень надеялся и настойчиво стремился доказать, что следующая по величине после мощности множества натуральных чисел a 0 идет как раз мощность множества, представляющего собой арифметическую модель континуума[ttttt] 2a 0  = a 1 Однако ни самому Кантору, ни его последователям доказать этого не удалось. В 1963 году П.

Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств Цермело-Френкеля... Более того, Коэн склонялся к тому, что мощность континуума больше[uuuuu] , чем любое a n, для любого n, больше a w и т.д.[vvvvv] ... Бесконечное разоблачает наши наивные ожидания, что в нем «все происходит так, как здесь и теперь».

В бесконечном слишком много возможностей. И главное, непонятно вообще, как эти возможности можно было бы «учесть», инвентаризировать. § 3. Умудренное незнание Даже в своих простейших вариантах мир теории множеств оказывается в высшей степени парадоксальным. Трудно сразу представить, что принятие аксиомы выбора, столь казалось бы естественного утверждения, приводит к парадоксу Банаха-Тарского: «Используя аксиому выбора, можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар»[wwwww] .

И сразу, конечно, возникает вопрос: а как это соотносится с физическим миром? Неужели подобное возможно и в отношении вещества?.. Или же аксиома выбора здесь нгеприменима?.. Мы не знаем ответов на эти вопросы. Так называемые парадоксы, а точнее, сложнейшие апории были «язвою» теории множеств с самых первых этапов ее вхождения в научный оборот, уже с 90-х годов XIX века. Так, Б.

Рассел анализируя канторовскую теорему о так называемом «множестве-степени»[xxxxx] , выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таким множеством, а множество натуральных чисел является множеством, не совпадающим ни с каким своим элементом. Если мы рассмотрим множество М всех множеств, не являющихся элементами самого себя, то мы не сможем ни отрицательно, ни утвердительно ответить на вопрос: будет ли оно само множеством того же типа, что и его элементы, т.е.

множеством, не содержащим самого себя в качестве элемента. Если мы ответим утвердительно, отсюда следует, что М как содержащее все множества, не являющееся собственным элементом, должно содержать и себя, что противоречит предположению. Если же мы ответим отрицательно, т.е. М не является множеством, не содержащим себя в качестве элемента, тогда значит М содержит себя в качестве своего элемента, но все элементы М суть множества, не содержащие себя в качестве своего элемента, т.е. мы опять получаем противоречие.