Из истории неевклидовой геометрии

История неевклидовой геометрии начинается с признания Евклидова постулата о параллелях звеном не необходимым в системе геометрической мысли. Естественным следствием такого признания явилось стремление доказать возможность иных постулатов. В этой своей точке геометрическая мысль человечества претерпела разрыв, поскольку задачею непосредственно предшествовавшего прошлого было как раз доказательство логической исключительности постулата о параллелях и превращение его в теорему. Можно отметить при этом, что острота Евклидовского сознания и настойчивость попыток доказать его логическую необходимость возрастают по мере приближения к точке исторического разрыва — рождению геометрии неевклидовой, и такой характер геометрической мысли находит себе благоприятную почву в обще–философском рационализме XVII и XVIII веков.

Напротив, более глубокому прошлому свойственно и более мягкое отношение к постулату о параллелях. Наконец, позиция самого Евклида была, как известно, весьма осторожной; в частности это выразилось в существенном обособлении собственно аксиом и основоположения о параллельных и в наименовании его лишь αίτημα‚ т. е. требованием, а не άξίωμα, достоверностью. Таким образом, уходя в глубь истории, геометрическое сознание утрачивает Евклидовскую резкость. На этом основании можно было бы сделать историческую экстраполяцию о первоначальной неевклидовой геометрии, господствовавшей в еще более ранние времена. Народное геометрическое мышление действительно ближе к геометрии неевклидовой, чем к Евклидовой. Весьма замечательно, что у Аристотеля в его «Метафизике» (Δ 1025а, 30) имеется вполне отчетливая постановка вопроса о сумме углов треугольника, т. е. о постулате параллельных, именно в той самой форме этого постулата, в какой он выступает исторически при попытках доказать

Евклидовское учение о параллельных. Но, в противоположность последующим мыслителям, Аристотель утверждает именно отсутствие внутренне необходимой связи между понятием треугольника («сущностью») и равенством суммы его углов двум прямым. Иначе говоря, эта связь носит характер эмпирический, хотя и вечный, или, по терминологии Аристотеля, есть «случайное» (σνμβέβη- κος, accidens). Вот, это замечательное место: «В другом значении случайным называют также то, что имеется у предмета самого по себе, но не лежит в его сущности, как, например, свойство треугольника иметь сумму углов, равную двум прямым. Случайное в этом смысле может быть вечным, а в другом — вовсе нет»[1970]

Пифагоровы числа

С началом текущего века научное миропонимание претерпело сдвиг, равного которому не найти, кажется, на всем протяжении человеческой мысли; даже скачок от Средневековья к Возрождению теряет в своей значительности, будучи сопоставлен с мыслительной стремниной нашего времени. Слово революция кажется слабым, чтобы охарактеризовать это событие культуры: мы не знаем, еще не знаем, как назвать его. Увлекаемые вырвавшимся вихрем, мы не имеем и способов достаточно оценить скорость происходящего процесса, как не выработали еще в себе категорий сознания, которыми можно было бы выразить общий смысл совершающегося. Сознательно вглядывавшиеся в научную мысль как целостный процесс культуры, конечно, и ранее, с последней четверти ХІХ–го века, предвидели надвигающийся переворот сознания: имени Николая Васильевича Бугаева[1971] (1837 г., † 1903 г.) принадлежит тут едва ли не первое место, во всяком случае одно из первых. Но ни он, ни кто‑либо другой не могли предусмотреть даже приблизительно ширину и глубину духовного предчувствуемого и подготовляемого ими взрыва. Впрочем, и мы, младшее поколение, скорее чувствуем внутреннюю связность отдельных потрясений и откровений в различных областях знания, нежели можем ответчиво объединить их в одно целое. Только некоторые из характерных признаков сдвига уже установились в нашем понимании. Среди таковых отметим здесь два характернейшие, к тому же нужные нам в этой работе. Эти два признака суть прерывность и форма.

Миропонимание прошлых веков, от Возрождения и до наших дней, вело во всех своих концепциях две линии, по духовной своей значительности весьма родственных между собою. Первая из них есть принцип непрерывности (lex continuitatis) [1972]\ а вторая — изгнание понятия формы. Non posse transire ab uni extremo ad alterum extremum sine medio — невозможно от одного крайнего перейти к другому без промежуточного — таков принцип непрерывности. Нет раскрывающегося в явлении общего его плана, объединяющего собою его части и отдельные элементы, — таков смысл отрицания формы. Родственность и взаимная связность обоих возрожден- ских стремлений понятна: если явление изменяется непрерывно, то это значит — у него нет внутренней меры, схемы его, как целого, в силу соотношения и взаимной связи его частей и элементов полагающей границы его изменениям. Иначе говоря, непрерывность изменений имеет предпосылкою отсутствие формы: такое явление, не будучи стягиваемо в единую сущность изнутри, не выделено из окружающей среды, а потому и способно неопределенно, без меры, растекаться в этой среде и принимать всевозможные промежуточные значения. Эволюционизм, как учение о непрерывности, существенно подразумевает и отрицание формы, а следовательно — индивидуальности явлений; и эта взаимосвязанность обеих склонностей мысли равно относится ко всем видам эволюционного учения, будь то идеология, психология, биология, социология или политика.

ХІХ–й век, век эволюционизма по преимуществу, потому‑то и формулировал окончательно этот, эволюционный, строй мысли, которым дышала вся возрожденская культура, что сам был заключительным: эволюционизм, как известно проникший во все области культуры, был суммирующим панегириком над свежею могилою Возрождения. А скромные на вид, но угрожающие по смыслу ростки нового мировоззрения уже подымались из этой могилы. Попросту говоря, в отраслях знания самых разных неожиданно обнаруживаются к началу ХХ–го века явления, обладающие заведомо прерывным характером; а с другой стороны, добросовестному работнику мысли с несомненностью приходится тут удостоверить, опять‑таки в разных областях знания, наличие формы.

Достойно внимания, что в одних случаях формально- математическое исследование понятий предварило опытное их применение; в других же, напротив, именно конкретный материал дал повод к разработке соответственных орудий мысли. Так, теория функций действительного переменного тонко разработала превосходный подбор понятий и терминов, еще и ныне далеко не использованный, и тем, кто недостаточно вдумывается в историю мысли, с ее неравенствами и несоответствиями роста, — тем могущей казаться праздными хитросплетениями; но можно быть уверенным, что в свое время, вовсе недалекое, и эти тонкости окажутся не тонкостями, а различениями совершенно необходимыми даже в практической жизни. Да и сейчас, не имеем ли мы в метеорологических кривых, в траекториях броуновских движений, может быть — в некоторых случаях волновых колебаний, затем в поверхностях, ограничивающих коллоидальные зерна некоторых эмульсий, в поверхностях некоторых кристаллов и т. д., и т. д., — не имеем ли мы здесь непрерывных кривых линий и поверхностей без касательных, т. е. непрерывных функций без производной?

С другой стороны, явления жизни, душевные процессы, произведения творчества и прочее заставили признать формообразующее начало, а далее оказалось, что и физика не может отстранить от себя понятия о целом; даже механика, злейший враг этого понятия, оказалась опирающейся на него, коль скоро заговорила о движениях с наследственностью, об устойчивости динамических систем и т. п. Электрические и магнитные силовые поля, гистерезис[1973]*, даже явления механической упругости и т. д. нуждаются в принципиально новых методах, систематически применяющих понятие о целом, — «которое прежде своих частей»[1974]* — и которым, следовательно, определяется сложение его элементов. А это есть форма. И методы такого рода были вызваны самою практикой жизни, потребностями не только философскими, но и техническими. Теория интегральных и ин- тегродифференциальных уравнений, функции линий, поверхностей и многомерных гипер–образований, ли- ниевые, поверхностные и прочие тому подобные уравнения, функциональное исчисление, топология и прочие тому подобные дисциплины — это все методы будущего, существенно становящиеся именно на тех основах, которые принципиально отрицались наукой еще недавнего прошлого.

II

Где обнаруживается прерывность, там мы ищем целого; а где есть целое — там действует форма и, следовательно, есть индивидуальная отграниченность действительности от окружающей среды. Иначе говоря, там действительность имеет дискретный характер, есть некоторая монада, т. е. в себе замкнутая (конечно, относительно) неделимая единица[1975]*. Значит, там возможен и счет.