Между тем, с различением типов и мощностей, и в частности — порядковых и количественных чисел, мы вынуждены считаться, как только теоретические калькуляции алгебры или теории чисел мы соотносим со счетом в действительности: повидимому, редко задумываются, что результат алгоритмических калькуляций может быть переотносим на множества, как предмет счета, лишь синтетическим суждением, и возможность такого переноса вовсе не подразумевается сама собою. В алгебре и в теории чисел в большинстве случаев мы производим действия над числами количественными и потому не имеющими типа, лишенными строения, а следовательно — и неизобразимыми. Это — вообще числа. Покуда они остаются «вообще», изображать их в частности — нет нужды; но за то они и неприменимы ни к какому конкретному множеству. Да мы и не знаем, как можно перейти от этих чисел «вообще» к числам «в частности», оставляя при этом числа безструктурными.

А между тем, мы не обладаем непосредственной интуицией мощности и, следовательно, не способны обозначить и назвать мощность (количественное число), как таковую. Чтобы быть узнано, познано, названо и обозначено, число должно быть расчленено; а без расчленения есть не более как хаотическое множество, неопределенность. Но это расчленение, по следам естественного расчленения множества (как объект природы, множество непременно имеет свою форму, значит — и соответственное членение), утверждает порядок множества. А потому, отвлеченная схема такого множества, по самому приему образования ее, обязательно есть тип порядка, идеальное число, в частности — число порядковое, но никак не количественное. Считая, — мы никогда не получим количественного числа — непременно порядковое или тип порядка. Всякая система счисления расчленяет множество, на том или другом основании, причем возможны и даже отчасти применяются системы счисления с основанием переменным (таковы все системы мер, разве что за исключением метрической).

В алгебре и в теории чисел вопроса об изображении числа по системе того или другого основания просто не существует, и лишь по старой памяти где‑то мимоходом делается заметка о системах счисления. Но это так потому, что в названных дисциплинах обсуждаются числа количественные, и применимость найденного к действительным множествам никогда не становится предметом внимания. Но теоретико–познавательно и психологически невозможен числовой ряд без системы счисления. Счет в его отношении к действительному множеству подразумевает числовой ряд, а в числовом ряде — и принцип его установки — систему счисления.

Сосчитать — значит изобразить число: множество не изображенное — в числовом смысле и не познано, не сосчитано. Изображенность числа не есть, следовательно, только психологический костыль арифметики, без которого она обошлась бы, хотя и менее удобно, — не есть внешняя одежда арифметического понятия, одеваемая на число ради удобства и благопристойности, но существенно входит в самый акт числового познания: она необходима.

Мы привыкли к мысли об изобразимости одного и того же числа (т. е. количественного) по разным системам. Слишком привыкли, считаем выбор системы почти безразличным. Может быть, в каких‑либо отношениях она и в самом деле не имеет решающего значения, но тем не менее не должно быть забываемо, что конкретный счет имеет дело с числами порядковыми, а два числа, хотя бы и одной мощности, но изображенные в разных системах, отличаются друг от друга своим членением — имеют разную форму и далеко не отожде- ствимы между собой. Раз дело идет о порядковых числах, то написание их по разным системам — дает не одно и то же число.

Указывались неоднократно преимущества той или другой системы для счета тех или иных множеств; так, исторически известны системы с основаниями: 60 — у вавилонян, 20 — у ацтеков и кельтов, 6 и 12 — у различных народов, и т. д. Предлагались также фактори- альная нумерация, нумерация двоичная, четверичная, восьмиричная, двенадцатиричная и т. д.

Но по–видимому, еще никем не подчеркнута для системы счисления возможность:

либо следовать естественному расчленению сосчитываемых множеств данного ряда,

либо, напротив, насильственно перестраивать множества, уничтожая их собственное строение и вводя иное, им чуждое.

Соответственно избранная система счисления, — может быть, с переменным по тому или другому закону основанием, — позволяет самыми числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления; напротив, затемненность структуры изучаемого — во многих случаях должна быть вменена в вину непродуманно применяемой системе счисления.

Так, многие вопросы теории функций легко разрешаются при пользовании двоичной системой, равно как и вопросы символической логики, например у Буля[1991]*; системы с основанием 2п указывались как естественно наиболее пригодные в теоретико–музыкальных исследованиях, а с основанием 60 — в работах астрономических; седьмиричная система была бы пригодна во многих случаях календарного и историко–хронологического подсчета ит. д.

Если бы счет действительности производился правильно, т. е. без искажения структуры считаемого, а значит — по свойственной данному явлению системе счисления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления, — прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа, — конкретные, изображенные числа, — как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного. Эта задача расширяется также и на числа трансфинитные, на трансфинитные типы порядка, где самое основание системы счисления может быть трансфинитно; но острота вопроса — именно в этой изображенности числа, в его познавательной во- площенности, хотя бы оно и было сверх — конечным.