Но по–видимому, еще никем не подчеркнута для системы счисления возможность:

либо следовать естественному расчленению сосчитываемых множеств данного ряда,

либо, напротив, насильственно перестраивать множества, уничтожая их собственное строение и вводя иное, им чуждое.

Соответственно избранная система счисления, — может быть, с переменным по тому или другому закону основанием, — позволяет самыми числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления; напротив, затемненность структуры изучаемого — во многих случаях должна быть вменена в вину непродуманно применяемой системе счисления.

Так, многие вопросы теории функций легко разрешаются при пользовании двоичной системой, равно как и вопросы символической логики, например у Буля[1991]*; системы с основанием 2п указывались как естественно наиболее пригодные в теоретико–музыкальных исследованиях, а с основанием 60 — в работах астрономических; седьмиричная система была бы пригодна во многих случаях календарного и историко–хронологического подсчета ит. д.

Если бы счет действительности производился правильно, т. е. без искажения структуры считаемого, а значит — по свойственной данному явлению системе счисления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления, — прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа, — конкретные, изображенные числа, — как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного. Эта задача расширяется также и на числа трансфинитные, на трансфинитные типы порядка, где самое основание системы счисления может быть трансфинитно; но острота вопроса — именно в этой изображенности числа, в его познавательной во- площенности, хотя бы оно и было сверх — конечным.

Число изображенное, т. е. единственно возможное при счете число, почти не сделано темой исследования. Это звучит странно, но это так. Правда, в элементарноматематических журналах и развлекательно–математических книгах предлагаются и решаются задачки такого содержания. Но кажется, за ними никогда не было признаваемо значение большего, нежели — интеллектуальных игрушек. Решаются же эти задачи не методически, случайными уловками из других дисциплин.

Изображенное число не стало до сих пор предметом своей науки; первые же всходы таковой зачахли уже в древней Греции. Даже такая первоначальная потребность, как преобразование числа из системы в систему, не может быть удовлетворена непосредственно, путем подставки данного числа в некую формулу. Между тем, такое преобразование, помимо своего высокого теоретического интереса, было бы весьма полезно и практически, коль скоро мысль о надлежащем, сообразном случаю исследовании, выборе системы счисления утвердится в науке. Кстати сказать, ввиду этой именно потребности автором настоящей работы намечена схема счетного механизма, преобразователя чисел из системы одного основания — в систему другого; не составило бы затруднения придумать подобные механизмы, преображающие числа в системы оснований переменных.

Другой существенный вопрос, — о числовых инвариантах и прочих инвариантных образованиях, — кажется, даже не ставился. Переписывая число по новой системе, мы получаем собственно новое число: число, как таковое, не инвариантно в процессе преобразования системы счисления. Но однако, мы непосредственно чувствуем, что и новое — оно сохраняет какую‑то связь со старым; другими словами, мы не можем не думать о пребывании чего‑то в числе, когда основание системы подвергается группе преобразований. Возможно и необходимо поэтому задать себе вопрос:

что именно пребывает инвариантным у такой‑то совокупности чисел при преобразованиях основания таких‑то и таких‑то, включая сюда и введение оснований переменных.

С другой стороны, возникает и вопрос о том, у какой совокупности чисел или в отношении каких преобразований пребывают инвариантными заданные свойства. А далее, требуют ответа вопросы: о некотором закономерном изменении тех или иных свойств при тех или других преобразованиях основания и обратно;

о тех преобразованиях, или тех совокупностях чисел, при которых заданная закономерность изменения осуществится.

Наконец, аналогичные вопросы должны быть поставлены относительно: