Число изображенное, т. е. единственно возможное при счете число, почти не сделано темой исследования. Это звучит странно, но это так. Правда, в элементарноматематических журналах и развлекательно–математических книгах предлагаются и решаются задачки такого содержания. Но кажется, за ними никогда не было признаваемо значение большего, нежели — интеллектуальных игрушек. Решаются же эти задачи не методически, случайными уловками из других дисциплин.

Изображенное число не стало до сих пор предметом своей науки; первые же всходы таковой зачахли уже в древней Греции. Даже такая первоначальная потребность, как преобразование числа из системы в систему, не может быть удовлетворена непосредственно, путем подставки данного числа в некую формулу. Между тем, такое преобразование, помимо своего высокого теоретического интереса, было бы весьма полезно и практически, коль скоро мысль о надлежащем, сообразном случаю исследовании, выборе системы счисления утвердится в науке. Кстати сказать, ввиду этой именно потребности автором настоящей работы намечена схема счетного механизма, преобразователя чисел из системы одного основания — в систему другого; не составило бы затруднения придумать подобные механизмы, преображающие числа в системы оснований переменных.

Другой существенный вопрос, — о числовых инвариантах и прочих инвариантных образованиях, — кажется, даже не ставился. Переписывая число по новой системе, мы получаем собственно новое число: число, как таковое, не инвариантно в процессе преобразования системы счисления. Но однако, мы непосредственно чувствуем, что и новое — оно сохраняет какую‑то связь со старым; другими словами, мы не можем не думать о пребывании чего‑то в числе, когда основание системы подвергается группе преобразований. Возможно и необходимо поэтому задать себе вопрос:

что именно пребывает инвариантным у такой‑то совокупности чисел при преобразованиях основания таких‑то и таких‑то, включая сюда и введение оснований переменных.

С другой стороны, возникает и вопрос о том, у какой совокупности чисел или в отношении каких преобразований пребывают инвариантными заданные свойства. А далее, требуют ответа вопросы: о некотором закономерном изменении тех или иных свойств при тех или других преобразованиях основания и обратно;

о тех преобразованиях, или тех совокупностях чисел, при которых заданная закономерность изменения осуществится.

Наконец, аналогичные вопросы должны быть поставлены относительно:

тех или иных соотношений меҗцу собою пар или некоторых более сложных комбинаций чисел, ибо и эти соотношения могут быть инвариантными или изменяемыми закономерно при тех или иных преобразованиях и у той или иной совокупности чисел.

Этот круг вопросов, несколько напоминающих теорию алгебраических форм [1992]*, еще даже не ставился, хотя нетрудно предвидеть существенную необходимость этих и подобных вопросов в наступающем миропонимании, где числовая прерывность формы выступает характернейшею категориею мысли.

VII

В только что изложенном слегка намечены темы предлежащих изысканий, которых не обойти будущей науке и без которых не обойтись ей, уже пережившей глубочайший переворот. Но конечно, не эти большие задачи составляют предмет издаваемых набросков, хотя и они обращены к будущему. Их задача — сделать один из первых шагов к изучению числа, как формы, — указать хотя бы какие‑нибудь приемы, улавливающие внутренний ритм числа, его пифагорейскую музыку.

Электронное строение атома Бора и Резерфорда, конфигарции плавающих магнитов в опьггах А. М. Майе- ра, Р. В. Вуда, Деларива и Гюйи, в связи с явлением Бархгаузена, связь мутаций с числом хромосом — своего рода полимеризация вида — в исследованиях Моргана [1993]* и т. д. и т. д., все подобные вопросы перекликаются с результатами настоящей арифмологической работы, хотя сейчас и преждевременно устанавливать имеющиеся здесь соотношения более точно.

Два основных арифмологических алгоритма, разработанные здесь, — приведение чисел и повышение их, по- видимому, достаточно просты и чреваты последствиями, чтобы дать надежду на дальнейшие их успехи. Во всяком случае, будучи общими приемами исследования, они не идут мимо индивидуальности числа; и следовательно, в обсуждении числа, как формы, должны занять какое- то свое место. Кроме того, эти алгоритмы могут быть полезны и технике: например, в теории зубчатых механизмов вроде часов, астрономических и числительных приборов и других механизмов, передающих и преобразующих не большие количества энергии, а некоторые смысловые соотношения, знаки, сигналы.

Историки мысли не упустят, вероятно, отметить себе, что в числовой символике, широко распространенной в древних культурах и оттуда просочившейся в мышление нового времени, поскольку мышление это не подвергалось рационалистической обработке, — что в символике оба разрабатываемые алгоритма уже были применяемы, хотя и догматически. Историкам мысли настоящая работа может быть, следовательно, полезна, как обоснование и математическая установка действий над числами, издавна применявшихся, но так, что было не видно, в чем математический смысл их и есть ли он.