Иной вопрос, можно ли реализовать эту функцию единообразными аналитическими приемами, и кӑк именно. Но, как и в математике чистой, самая наличность соответствия и знание некоторых его свойств ужб позволяют нам сделать некоторые заключения насчет природы функции чисто–формальным путем, а потому выполняемые всякой функцией, если только для нее указаны такие же свойства. Ведь и в общих исследованиях функция часто не реализуема в виде формулы, по крайней мере при наличных средствах математики; часто также формула оказывается ненужной, хотя и возможна[489] [490].

В известных случаях (а на практике — всегда) возможно расположить элементы групп, синтезированных в функцию, в некотором необратимом распорядке, руководствуясь тем или иным соображением; тогда между элементами будут отношения по рангу, и мы сможем говорить символически о возрастании и убывании функции (зависимого переменного) в соответствии с возрастанием или убыванием аргумента (независимого переменного).

В вопросе о развитии личности, независимое переменное — время. Но іггсрагаЬіІе tempus fugit[491]; время–группа, необратимая по природе своей, и тем самым элементы его ужб расположены по рангу. Зависимым переменным, в нашем вопросе, является раскрытость личности; состояния же духа, подвергнутые оценке непосредственного самосознания, определенные по своим отношениям к нормам, тоже выстраиваются в необратимый ряд по достоинству, и «лучше и хуже» является признаком, устанавливающим ранговое отношение. Последнее мы можем ради краткости условно называть «больше и меньше», ибо отношения по величине, как и отношения по достоинству — частный случай отношений по рангу; у нас нет нарочитых слов, обозначающих ранговые отношения, и волей–неволей пользуешься словами значения более узкого.

Отсюда — возможность говорить о возрастании и убывании личности в связи с ходом времени, как вообще мы говорим о возрастании и убывании функции в связи с ростом ее аргумента. Тут, впрочем, не сказано ничего нового сравнительно с обычным словоупотреблением, когда говорят, например, что данный человек «усовершился», «сделался лучшим» и т. п.

Сейчас нам нет интереса рассматривать всевозможные закономерности при таком изменении личности. Мы вникнем в тот наиинтереснейший случай, когда, с течением времени, рано или поздно, начинает личность расти, неуклонно уносясь к бесконечности. Другой же характерный случай, — случай прогрессивного оскудения, — рассматривается по тому же плану, и потому выгодно, в целях краткости, ограничиться первым[492] [493].

Из сказанного понятно, что необходимо рассмотреть предварительно общий вопрос о так называемых монотонно–возрастающих функциях, или, по крайней мере, становящихся таковыми после известного значения независимого переменного и стремящихся в своем росте к бесконечности. Этот вопрос даст неожиданные точки зрения для взгляда на процесс совершенствования личности.

III

Таким образом, мы имеем право рассматривать состояние духовной жизни (y), как некоторую функцию Φ времени (x), так что символически y=Ф(x); при этом χ изменяется непрерывно, течет. Кроме того, рано или поздно у получает монотонную возрастаемость до бесконечности[494]. Если принять во внимание эти обстоятельства, то рассуждение переходит на почву чисто–математическую.

Функцию Φ (χ) станем исследовать для некоторой области изменения ‚ѵ от а до й, т. е. на протяжении известного промежутка времени. Дополним наши условия еще одним: пусть у будет непрерывной функцией χ для всей рассматриваемой области а — b, исключая верхний предел b, по мере приближения к которому у беспредельно возрастет, превышая всякое данное значение. Около этого by следовательно, — период ρ а с τ а[495], стремнина духовного потока. Верхний предел b сам может быть бесконечностью; может быть, у беспредельно возрастает только при беспредельном же возрастании χ. Но мы берем общий случай, не предрешая ничего о значении by хотя в примерах, ради простоты, будем предполагать именно, что b =∞.

Время b, применительно к нашему случаю, не должно непременно быть действительным моментом жизни. Ведь нам важно не фактически–осуществленное достижение бесконечного результата, а лишь quomodo духовного движения, его πώς — «растучесть» духа, закон возрастания; закон же этот нисколько не изменится по своему характеру, если процесс развития прервется хотя бы, например, смертью до настатия момента і. Это by если угодно, может быть таким фиктивным временем, в которое личность стала бы бесконечной, если б ы продолжала развиваться по тому же закону, как развивалась до поры до времени. Вот почему условие непрерывности у не вносит в рассуждения существенной узости: если бы функция была прерывной, то мы могли бы рассматривать ее по кускам, от перерыва до перерыва. Самые же разрывы интересны не с точки зрения τ и- пов возрастания, а с точки зрения возрастания типов и потому будут рассмотрены в следующей статье[496][497].

Законов роста, т. е. функций, удовлетворяющих сказанным условиям, бесконечное множество, но между ними можно установить связи, весьма важные для понимания развития в духе. Уясним эти связи сперва на простейших примерах.

Возьмем функцию . С возрастанием x от 0 до ∞ это у1 тоже непрерывно растет от 0 до ∞, равно как и функция ; обе они удовлетворяют условиям, о которых говорено было ранее. И та и другая возрастает, но возрастает не одинаково быстро, т. к. отношение , т. е. у1 всегда вдвое больше у2. Т. к. отношение , при всяком χ‚ остается конечным, то при всяком χ функции у1 и у2 сравнимы между собою; как говорят, они стремятся к бесконечностям одного порядка. Стоит помножить у2 на постоянный множитель 2, чтобы получить у1. Эта во–всевременная сравнимость двух функций заставляет называть типы возрастания их равными.

Но легко представить функции, удовлетворяющие вышесказанным условиям, однако с неравными типами возрастания. Таковы, например, функции и . , как и , стремится к бесконечности вместе с беспредельным возрастанием х, но отношение их , с беспредельным возрастанием х, вовсе не остается ни неизменным, ни конечным: оно само стремится к бесконечности, и это показывает, что возрастает гораздо стремительнее, чем так что разница между ними все увеличивается и превосходит всякую конечную разницу. Ввиду этого, бесконечности, к которым стремятся функции и , называются бесконечностями разных порядков, именно, порядок бесконечности больше, чем бесконечности . А самые типы возрастания считаются неравными, про них говорят, что тип возрастания больше типа возрастания . Несмотря на то, и все таки остаются еще сравнимыми между собою; по крайней мере мы видим, чтб нужно произвести с , чтобы перейти к , Нужно, именно, повторить над ту самую операцию, при помощи которой мы перешли к нему самому от ‚ или, другими словами, над и над результатом первой операции дважды повторить процесс возвышения в квадрат: итерация дает то, что делает сравнимыми и ; ничего существенно–нового не требуется.

От одной функции можно перейти к другой посредством операции, аналогичной основной функциональной операции, т. е. придется повторить то, что раз уже сделано, что изведано на опыте.