Таким образом, мы имеем право рассматривать состояние духовной жизни (y), как некоторую функцию Φ времени (x), так что символически y=Ф(x); при этом χ изменяется непрерывно, течет. Кроме того, рано или поздно у получает монотонную возрастаемость до бесконечности[494]. Если принять во внимание эти обстоятельства, то рассуждение переходит на почву чисто–математическую.

Функцию Φ (χ) станем исследовать для некоторой области изменения ‚ѵ от а до й, т. е. на протяжении известного промежутка времени. Дополним наши условия еще одним: пусть у будет непрерывной функцией χ для всей рассматриваемой области а — b, исключая верхний предел b, по мере приближения к которому у беспредельно возрастет, превышая всякое данное значение. Около этого by следовательно, — период ρ а с τ а[495], стремнина духовного потока. Верхний предел b сам может быть бесконечностью; может быть, у беспредельно возрастает только при беспредельном же возрастании χ. Но мы берем общий случай, не предрешая ничего о значении by хотя в примерах, ради простоты, будем предполагать именно, что b =∞.

Время b, применительно к нашему случаю, не должно непременно быть действительным моментом жизни. Ведь нам важно не фактически–осуществленное достижение бесконечного результата, а лишь quomodo духовного движения, его πώς — «растучесть» духа, закон возрастания; закон же этот нисколько не изменится по своему характеру, если процесс развития прервется хотя бы, например, смертью до настатия момента і. Это by если угодно, может быть таким фиктивным временем, в которое личность стала бы бесконечной, если б ы продолжала развиваться по тому же закону, как развивалась до поры до времени. Вот почему условие непрерывности у не вносит в рассуждения существенной узости: если бы функция была прерывной, то мы могли бы рассматривать ее по кускам, от перерыва до перерыва. Самые же разрывы интересны не с точки зрения τ и- пов возрастания, а с точки зрения возрастания типов и потому будут рассмотрены в следующей статье[496][497].

Законов роста, т. е. функций, удовлетворяющих сказанным условиям, бесконечное множество, но между ними можно установить связи, весьма важные для понимания развития в духе. Уясним эти связи сперва на простейших примерах.

Возьмем функцию . С возрастанием x от 0 до ∞ это у1 тоже непрерывно растет от 0 до ∞, равно как и функция ; обе они удовлетворяют условиям, о которых говорено было ранее. И та и другая возрастает, но возрастает не одинаково быстро, т. к. отношение , т. е. у1 всегда вдвое больше у2. Т. к. отношение , при всяком χ‚ остается конечным, то при всяком χ функции у1 и у2 сравнимы между собою; как говорят, они стремятся к бесконечностям одного порядка. Стоит помножить у2 на постоянный множитель 2, чтобы получить у1. Эта во–всевременная сравнимость двух функций заставляет называть типы возрастания их равными.

Но легко представить функции, удовлетворяющие вышесказанным условиям, однако с неравными типами возрастания. Таковы, например, функции и . , как и , стремится к бесконечности вместе с беспредельным возрастанием х, но отношение их , с беспредельным возрастанием х, вовсе не остается ни неизменным, ни конечным: оно само стремится к бесконечности, и это показывает, что возрастает гораздо стремительнее, чем так что разница между ними все увеличивается и превосходит всякую конечную разницу. Ввиду этого, бесконечности, к которым стремятся функции и , называются бесконечностями разных порядков, именно, порядок бесконечности больше, чем бесконечности . А самые типы возрастания считаются неравными, про них говорят, что тип возрастания больше типа возрастания . Несмотря на то, и все таки остаются еще сравнимыми между собою; по крайней мере мы видим, чтб нужно произвести с , чтобы перейти к , Нужно, именно, повторить над ту самую операцию, при помощи которой мы перешли к нему самому от ‚ или, другими словами, над и над результатом первой операции дважды повторить процесс возвышения в квадрат: итерация дает то, что делает сравнимыми и ; ничего существенно–нового не требуется.

От одной функции можно перейти к другой посредством операции, аналогичной основной функциональной операции, т. е. придется повторить то, что раз уже сделано, что изведано на опыте.

Во всех этих случаях мы имеем дело с различными порядками бесконечностей. Но оказывается, что так — далеко не всегда, и существуют функции безусловно не сравнимые таким образом. Другими словами, отношение функциональных значений стремится к бесконечности с возрастанием и, какие бы итерации и действия им подобные мы ни производили над функцией меньшего типа возрастания, функция ббльшего типа окажется для нее недостижимой, имеющей бесконечность не только другого порядка, но и другой породы, по терминологии † Н. В. Бугаева[498][499].

Если мы возьмем, например, показательную функцию , где  — некоторое постоянное, и функцию степенную , то обе они удовлетворят указанным ранее условиям, т. к. обе безгранично возрастают при стремлении к ∞; отношение их , как доказывается в дифференциальном исчислении, тоже стремится к ∞ с возрастанием , а из этого следует, что тип возрастания больше, чем тип возрастания . Но мало того. В дифференциальном исчислении доказывается, что сколько бы раз мы ни применяли итеративный процесс к , т.е. как бы ни повышали порядок бесконечности его, увеличивая показатель степени при , мы никогда не уравняем типов этих функций, никогда не сделаем предел отношения этих функций конечным; как бы ни было велико целое число в выражении , тип возрастания менее типа : они не сравнимы; и стремятся к бесконечностям разной породы[500]. Это — математическое выражение того, что народная мудрость выразила рядом пословиц вроде: «и маленькая рыбка лучше большого таракана», «мал золотник, да золото весят; велик верблюд, да воду возят» и т. п.[501]

Мы подошли к наиболее важному понятию этой статьи, — к понятию о таких типах возрастания, которые безусловно трансцендентны для данного типа, лежат вне сравнимости с ним, хотя бы сравниваемый тип беспредельно повышал свой порядок. Чтобы лучше пояснить это понятие, составим ряды из бесконечного множества функций, все увеличивающих свой тип беспредельно, если двигаться вдоль строк слева направо, но не могущих достигнуть малейшего из типов ниже–лежащей строки. Получится таблица следующая:

и т.д.

»

»

»