Во всех этих случаях мы имеем дело с различными порядками бесконечностей. Но оказывается, что так — далеко не всегда, и существуют функции безусловно не сравнимые таким образом. Другими словами, отношение функциональных значений стремится к бесконечности с возрастанием и, какие бы итерации и действия им подобные мы ни производили над функцией меньшего типа возрастания, функция ббльшего типа окажется для нее недостижимой, имеющей бесконечность не только другого порядка, но и другой породы, по терминологии † Н. В. Бугаева[498][499].

Если мы возьмем, например, показательную функцию , где  — некоторое постоянное, и функцию степенную , то обе они удовлетворят указанным ранее условиям, т. к. обе безгранично возрастают при стремлении к ∞; отношение их , как доказывается в дифференциальном исчислении, тоже стремится к ∞ с возрастанием , а из этого следует, что тип возрастания больше, чем тип возрастания . Но мало того. В дифференциальном исчислении доказывается, что сколько бы раз мы ни применяли итеративный процесс к , т.е. как бы ни повышали порядок бесконечности его, увеличивая показатель степени при , мы никогда не уравняем типов этих функций, никогда не сделаем предел отношения этих функций конечным; как бы ни было велико целое число в выражении , тип возрастания менее типа : они не сравнимы; и стремятся к бесконечностям разной породы[500]. Это — математическое выражение того, что народная мудрость выразила рядом пословиц вроде: «и маленькая рыбка лучше большого таракана», «мал золотник, да золото весят; велик верблюд, да воду возят» и т. п.[501]

Мы подошли к наиболее важному понятию этой статьи, — к понятию о таких типах возрастания, которые безусловно трансцендентны для данного типа, лежат вне сравнимости с ним, хотя бы сравниваемый тип беспредельно повышал свой порядок. Чтобы лучше пояснить это понятие, составим ряды из бесконечного множества функций, все увеличивающих свой тип беспредельно, если двигаться вдоль строк слева направо, но не могущих достигнуть малейшего из типов ниже–лежащей строки. Получится таблица следующая:

и т.д.

»

»

»

Тут, в первой строке, равно как и в последующих, — бесконечное множество функций; бесконечно также множество (Menge, mullitudo, ensemble) строк. Однако, как типы каждой из строк, несмотря на свое возрастание, не достигают наименьшего из типов строки последующей, так же точно и вся скӑла типов, строимая по объясненному принципу беспредельно далеко и не имеющая наивысшего типа, потому что после каждого, сколь угодно далеко стоящего типа, имеется другой, еще больший, — вся она не достигает типов функций, образованных по иным законам. Нет наибольшей породы бесконечности, и нет даже метода строительства, позволяющего достаточно большим рядом шагов подойти ко всяком у типу. — Это приблизительная формулировка знаменитой теоремы Поля дю Буа Реймона[502], и нам необходимо тщательнее вникнуть в ее смысл[503].

Пусть имеются функции и переменного . Мы рассматриваем их внутри известной области изменения , т. е. для всех значений , которые заключены между числами a и b; в частности это могут быть 0 и ∞. По мере возрастания и приближения его к верхнему пределу b , функции и стремятся к бесконечности. Тогда отношение возрастанием , может вести себя различно.

10, Оно может беспредельно убывать. Тогда мы скажем, что тип возрастания функции менее, чем тип возрастания функции , и символически напишем: .

20, Оно может беспредельно возрастать. Тогда имеем случай обратный, и .

30, Оно может быть постоянным или меняться, всегда оставаясь конечным. Тогда типы возрастания, как говорят, равны, что символически обозначается: f g.

4 ‚ Наконец, может случиться, что отношение не стремится ни к какому пределу, делаясь, с возрастанием , волнообразно то бесконечностью, то убывая до нуля, и так для всякой области, выделенной около .

Первые три случая, где типы возрастания сравнимы, соответствуют выставленным в § III условиям; они нам особенно важны, т. к. можно расположить соответственные функции в некоторую скӑлу, привести в систему, выстраивая «по величине» типа возрастания, в ранговом порядке.