Тут, в первой строке, равно как и в последующих, — бесконечное множество функций; бесконечно также множество (Menge, mullitudo, ensemble) строк. Однако, как типы каждой из строк, несмотря на свое возрастание, не достигают наименьшего из типов строки последующей, так же точно и вся скӑла типов, строимая по объясненному принципу беспредельно далеко и не имеющая наивысшего типа, потому что после каждого, сколь угодно далеко стоящего типа, имеется другой, еще больший, — вся она не достигает типов функций, образованных по иным законам. Нет наибольшей породы бесконечности, и нет даже метода строительства, позволяющего достаточно большим рядом шагов подойти ко всяком у типу. — Это приблизительная формулировка знаменитой теоремы Поля дю Буа Реймона[502], и нам необходимо тщательнее вникнуть в ее смысл[503].

Пусть имеются функции и переменного . Мы рассматриваем их внутри известной области изменения , т. е. для всех значений , которые заключены между числами a и b; в частности это могут быть 0 и ∞. По мере возрастания и приближения его к верхнему пределу b , функции и стремятся к бесконечности. Тогда отношение возрастанием , может вести себя различно.

10, Оно может беспредельно убывать. Тогда мы скажем, что тип возрастания функции менее, чем тип возрастания функции , и символически напишем: .

20, Оно может беспредельно возрастать. Тогда имеем случай обратный, и .

30, Оно может быть постоянным или меняться, всегда оставаясь конечным. Тогда типы возрастания, как говорят, равны, что символически обозначается: f g.

4 ‚ Наконец, может случиться, что отношение не стремится ни к какому пределу, делаясь, с возрастанием , волнообразно то бесконечностью, то убывая до нуля, и так для всякой области, выделенной около .

Первые три случая, где типы возрастания сравнимы, соответствуют выставленным в § III условиям; они нам особенно важны, т. к. можно расположить соответственные функции в некоторую скӑлу, привести в систему, выстраивая «по величине» типа возрастания, в ранговом порядке.

Примеры таких строчек или скӑл мы имели выше. Мы строили их итерацией определенных действий. Но легко доказывается, что всякая операция , повышающая тип возрастания при получении из него , может, при помощи итераций, создать скӑлу типов. Поэтому такая скӓла, такая лестница типов в общем виде может быть представлена так:

… и т. д.,

или, проще:

и т. д.,

или, наконец, совсем сокращенно:

… и т. д.

У этих строчек нет последних членов, — нет максимального типа. Однако, легко построить и продолжение их в обратную сторону, так что получатся строки, не имеющие первого, наименьшего члена. Доказывается, именно, что если заменить операцию ей обратной[504], то, итеративно применяя ее к и к последовательно получаемым результатам, мы получим все меньшие и меньшие типы возрастания. По отношению к функции например, обратной будет функция , т.е. логарифмическая. Итак, можно получить ее скӑлу типов такую: