Примеры таких строчек или скӑл мы имели выше. Мы строили их итерацией определенных действий. Но легко доказывается, что всякая операция , повышающая тип возрастания при получении из него , может, при помощи итераций, создать скӑлу типов. Поэтому такая скӓла, такая лестница типов в общем виде может быть представлена так:

… и т. д.,

или, проще:

и т. д.,

или, наконец, совсем сокращенно:

… и т. д.

У этих строчек нет последних членов, — нет максимального типа. Однако, легко построить и продолжение их в обратную сторону, так что получатся строки, не имеющие первого, наименьшего члена. Доказывается, именно, что если заменить операцию ей обратной[504], то, итеративно применяя ее к и к последовательно получаемым результатам, мы получим все меньшие и меньшие типы возрастания. По отношению к функции например, обратной будет функция , т.е. логарифмическая. Итак, можно получить ее скӑлу типов такую:

и т.д. …

или, сокращеннее,

и т. д.

причем каждый последующий тип более предыдущего.

Производя итерацию 1, 2, 3, 4,…‚ n,… и т. д. число раз подряд, мы тем самым приписываем нумера построяемым функциям или, иначе, сосчитыва- е м их. Итеративно полученная группа функций бесконечна (потому что нет последнего числа, а потому нет и последней, ему соответствовавшей бы функции: после всякой функции можно построить хотя бы еще одну, типа высшего). Но за сказанную возможность установить соответствие нашего ряда с рядом натуральных чисел 1, 2, 3,…‚ n‚… и т. д., наша скӑла получает название счетовой (аЬгӓһІЬаг, denombrable).

Вообще, счетность (АЬгӓһІЬагкеН) группы определяется тем признаком, что возможно перенумеровать все члены ее, так чтобы каждому соответствовало одно из чисел ряда: 1, 2, 3… и т. д. Итерация–не единственный способ создавать счетовую скӑлу возрастающих типов; существует еще сколько угодно иных способов. Поэтому мы не станем, в условиях теоремы Поля д ю Буа Реймона, определять, кӑк именно получена группа восходящих типов, расположенных, по–прежнему, так, что каждый предыдущий имеет после себя больший, непосредственно за ним следующий, ввиду чего можно написать:

и т. д.;

сокращенно — . Но мы только отметим счет- н о с τ ь этой группы. Это уже достигнуто тем, что типам приписаны нумера: чем более нумер, тем более тип.

Пусть же стремливость к бесконечности (если читатель разрешит такой оборот) у функции связана с нумером ее по каким угодно законам, так что лестница типов сама идет вверх как у г о дно быстро. Но, по каким бы законам мы ни строили этот бесконечный ряд, каким бы принципом создания его ни руководились, все равно невозможно построить его так, чтобы некоторая, произвольно выбранная, возрастающая функция непременно имела свой тип менее, чем како й–л ибо из типов группы, нами построенной; другими словами, невозможно отыскать скӑлу типов, восходящую так быстро, чтобы член, достаточно далеко стоящий в ней, непременно перегнал любой тип — чтобы для всякого имело место неравенств о при достаточно великом . Это и есть теорема дю Буа Реймона в ее отрицательной форме. А в положительной она выражается так: если дан какой угодно счетовой ряд возрастающих функций, образующих скӑлу ‚ то можно на самом деле найти возрастающую функцию такую, что ‚ как бы ни было велико .

Мы видели, что нет и не может быть наибольшего типа возрастания. Но этого мало: теорема д ю Буа Реймона говорит, что нельзя дать даже общего метода, следуя которому можно было бы подойти к любому типу, хотя бы метод давал возможность создавать все большие и большие типы, продолжать скӑлу далее и далее, и, притом, подымающуюся вверх произвольно быстро. Каков бы ни был тип, всегда имеется тип бблыпий его, т. е. развитие трансцендентное по сравнению с данным. Но, кроме того, каков бы ни был метод стройки возрастающих типов, всегда найдутся типы трансцендентные даже для данного метода, хотя и позволяющего отыскивать бесчисленное множество типов, восходящих по скӑле как угодно быстрой.

Доказательство, данное дю Буа Реймоном, идет ab esse ad posse[505]. Он показывает, именно, что, пользуясь самым рядом ‚ руководствуясь его свойствами, мы можем на самом деле построить функцию , обладающую искомым свойством быть по своему типу более всякого типа , как бы ни было велико п. А т. к. мы исходим при этом построении из свойств ряда ‚ нами же установленного совершенно произвольно, то отсюда будет следовать, что полученное построение возможно при всяком ряде, каков бы он ни был, чем теорема будет доказана. Мы не имеем возможности развить здесь это доказательство, но на геометрической схеме поясним, в чем дело.

Откладывая, как это делается на диаграммах, вдоль некоторой линии ОХ‚ начиная[506] от точки О, то или другое значение (черт. 1), а на перпендикуляре к ОХ, восстановленном из конца отложенного отрезка, соответствующее значение у, тем самым мы отметим некоторую точку, характеризующую своим положением на плоскости состояние функции при данном значении . Кривая, как геометрическое место таких точек, изображает закон, связующий и , — функцию. Прием этот («метод координат») слишком хорошо известен из всевозможных статистических и метеорологических диаграмм, чтобы стоило на нем останавливаться.

Беспредельное возрастание функции представится в виде беспредельного подъема кривой, а тип возрастания охарактеризуется стремительностью этого подъема по мере приближения к быстрине . Чем более тип, тем стремительнее подъем соответствующей кривой. Ввиду этого понятно, что если тип более типа ‚ то это не значит еще, что самая функция для всякого сама более функции нет, она может быть и меньше (тогда кривые пересекаются), но после известного значения , достаточно близкого к , функция будет более. [Заметим однако, что этот пункт пересечения в опыте может не быть данным. Может, он наступил бы, если бы жизнь развивающихся личностей не была прервана, смертью например, и, несмотря на это, все же тип будет более типа . Меньший же по типу иногда всю жизнь мнимо торжествует над бӧльшим по типу, но меньшим по фактически данному значению]. А в геометрической интерпретации это представится тем, что, после известного места, кривая, имеющая бӧльшую стремительность подъема окажется над кривой с меньшей стремительностью .

Итак, пусть у нас построена система бесконечного множества кривых , , …, , … и т. д., подымающихся все стремительнее и стремительнее к бесконечности; на чертеже 1 представлены только четыре из них: , , , . Задача наша — пояснить, что можно‚ на основании их, построить новую кривую, вздымающуюся еще стремительнее, т. е. соответствующую функции с типом, недостижимым скӑлою . Другими словами, потребно указать, кӓк построить такую линию , которая пересекла бы рано или поздно каждую из линий семейства ‚ как бы ни был велик ее нумер, и подымалась бы при достаточно близком к , над каждой кривой ‚ сколь бы ни было велико . Возможность описанного построения надо доказать; это нетрудно сделать следующим образом: