Черт. 2.

Занумеруем затем систему точек деления, начиная от , в последовательном порядке числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…‚ n,… и т. п. Нужная нам группа получена (см. черт. 2). — В случае же, если точка b лежит в бесконечности, то мы возьмем точки 1, 2, 3… n… и т. д. на произвольных конечных расстояниях, хотя бы на равных между собою; так именно сделано на черт. 1 ради простоты и изящества построения.

В каждой из точек сказанной группы восставим перпендикуляр к ОХ до пересечения с тою кривою семейства , , … , , и т. д., которая имеет нумер, соответственный с нумером точки, так что перпендикуляр в 1–ой точке пересечется с во 2–ой — с и т. д.; и вообще, перпендикуляр в n–ой точке пересечется с в (n + 1) — ой–с и т. д. Принимая далее начерченные прямые за ординаты, соединим концы их ломаной линией. Это и будет искомое геометрическое место . Из чертежа 1 видно, что вправо от n–ой из проведенных ординат все оно, , целиком лежит над n–ой кривой и, тем более, над , ибо переходит от точки, лежащей на этой кривой или над нею, к точке, заведомо находящейся над этой кривой, — к точке кривой .

Раз так, то после всякого , достаточно близкого к , именно после , определяемого n–ой точкой, ломаная подымается вверх круче, чем всякая кривая семейства , до n–ой включительно, и это — так, как бы ни был велик нумер кривой . Поэтому ясно, что ни про какую функцию нельзя сказать, что тип ее равен типу функции , изображаемой посредством геометрического места , как бы ни было велико n, т. е.

при всяком n. Это и требовалось доказать.

Подобным же образом можно доказать, что какую бы мы ни дали счетовую группу типов возрастания, расположенную так, что каждый последующий тип менее предыдущего, — всегда найдется тип, меньший всех их. Аналогичные теоремы можно доказать и относительно типов убывания функций, когда функция стремится, например, к нулю. И тут тоже невозможно представить себе счетовой группы их, позволяющей превзойти всякий тип убывания. Но после сказанного читатель и самостоятельно может убедиться в правильности последних утверждений.

ν[507]

Бесконечное возрастание имеет свой тип, т. е. функция стремится к бесконечности по–своему, особенно, не так, как другая, взятая с маху. Правда, имеются бесконечно–многие функции такого же типа, но группа функций иного типа бесконечно мощнее, чем группа — такого же типа. Вероятность вытащить из группы всех функций равнотипную — бесконечно мала: функции, вообще говоря, различны по типу; у каждой -свой облик.

Но тип возрастания — это «стремливость» развития, характеристика стремительности, с которой раскрывается потенция, или еще — мера «всход чивости», мера «растучести» развивающегося. Она дает нам зафиксированную оценку закона, по которому развитие идет далее и далее, не довольствуясь ни одним конечным определением, отпихивая позади себя пройденные лестницы.

В этом смысле, понятие о типе есть по преимуществу религиозное понятие, а теорема д ю Б у а Реймона–по преимуществу религиозная теорема: ни в одной области неуемное томление по сверх–данному, безудержное стремление к сверх–фак- тическому — «алчба и жажда правды»[508], перерастающие, а затем и преоборающие всякую условность, не залегают так глубоко, — в самом ядре, — как в области богообщения, при посулах Абсолютного, в бого–вещих трепетах и полночных вздрагиваниях души, обнаженной перед Вечностью. Прорывшись достаточно глубоко в напластованиях души и дойдя до водоносного ее слоя, все другие русла к бесконечности рано или поздно сливаются с этим основным, превращаясь в феософию и в феургию, или же, при противлении Абсолютному, в оккультизм и в магию[509]. То или другое, но непременно что нибудь. При бесконечности стремлений надо считаться положительно или отрицательно со стремлением Бесконечного, иначе — восторженность полета, рвущая из груди крик мятежного восторга, неумолимо сменяется тупым, усталым бормотанием: «довольно, довольно», а жажда высей — тяжелыми позывами все–брезгливости.

Но мы отклонились от прямой задачи. — Этот по преимуществу религиозный характер рассмотренной теоремы делает тип, быть может, самою личною из всех логических характеристик личности, — всецело не исчерпываемой, понятное дело, никакими признаками; но из всех их наиболее глубинным представляется этот.

Характер подъема, стремительность воспарения вовсе не дает еще понятия о достигнутой высоте; равно- стремливые функции, т. е. имеющие одинаковые типы, могут весьма разниться по величине, одна — может намного упредить другую. Но, чем далее идет развитие, чем выше восходят кривые, тем более уничтожается это упреждение в конечном, тем бесповоротнее меркнет это конечное преимущество пред отблеском бесконечной цели, светящей дорогу им обеим одинаково. И, в пределе, эта разница перестает быть разницей. Работники, обрядившиеся рано поутру, как и позванные в шестой, девятый и одиннадцатый час, получают поровну, когда приходит вечер. Напрасно ропщут те, которые пришли ранее: все они получили справедливо, так как все устремлялись к Идеалу по одному закону, имели одинаковый характер работы, одинаковый тип, как одинаковый тип имеют какие нибудь функции: