d) Это нетрудно заметить на функционировании категорий внутреннего и внешнего в последовательности: рациональное, иррациональное, мнимое число. В рациональном числе дано тождество внутреннего и внешнего как тезис, или, что то же, внешняя инобытийность подчинена тут внутреннему бытию; отсюда—внутренняя соизмеримость числа с самим собою. В иррациональном числе это тождество перешло в свое отрицание, или, что то же, внешняя инобытийность подчинила себе внутреннее бытие; отсюда—внешняя несоизмеримость числа с самим собою. В мнимом числе рассматриваемое тождество прошло через отрицание своего отрицания, т. е. вернулось из инобытия снова к себе, но зато стало развернутым, фигурно–положенным, перспективно оконтуренным. Сама по себе мнимость есть поэтому уже некая выраженность (равно как я рациональность и иррациональность). Однако это есть, собственно говоря, внутренно–внешнее тождество на стадии своей ставшести. Можно сказать, что в рациональном числе тождество внутреннего и внешнего дано как тезис, как акт полагания, в иррациональном—как антитезис, как становящийся акт полагания, и в мнимом— как синтез, как ставший акт полагания. Следовательно, остается еще выраженное, энергийно–эманашвное тождество внутреннего и внешнего. Это и есть те числа, к которым мы тетерь переходим. В них будет играть роль не чистое выражение как таковое, но выраженная вещь, почему прежнее внутренно–внешнее окажется опять внутренним содержанием, которое при помощи своего Осуществления на вещи перейдет теперь в новую внешность.

3. Это энергийно–эманативно выраженное число тоже может быть дано на разной степени своей диалектической зрелости.

a) Энергийно–эманативное число может быть дано снова как только еще голый принцип, как чистый акт полагания, как базис, т. е. как неразвернутое бытие. В этом виде оно содержит свое инобытие только лишь как потенцию, т. е. сама эманация числа оказывается пока только потенцией. Это—алгебраическое число.

b) Энергийно–эманативное число может существовать как некий акт полагания в его развитии, как становление акта полагания, как развернутое инобытие числа, энергийно вмещенное в лоно самого числа. Это—трансцедентное число.

c) Энергийно–эманативное число должно вернуться из стадии становления своего акта полагания и тем самым получить свое бытие как оформленное, фигурно осмысленное, как перспективно отработанное. Его инобытийные судьбы, которые оно должно вмещать в себе, пребывают в нем теперь не как потенция и не как инобытийная развернутая энергия, но как структурно–устойчивый эйдос, как некая эманативно развернутая картинность. Это—гиперкомплексное число.

К исследованию этих типов числа мы теперь и обратимся.

4. Энергийно–эманативное выражение § 109. Алгебраическое число.

1. Под алгебраическим числом понимается корень уравнения

а0хn+а1хn–1 + …+аn–1х+ап=0,

коэффициентами которого являются рациональные числа. После элементарного преобразования это уравнение может быть превращено в уравнение с целыми коэффициентами. Поэтому в определении алгебраического числа можно говорить и об уравнении с целыми коэффициентами. Если все коэффициенты уравнения суть числа целые, а коэффициент при хn равен, кроме того, еще и единице, то корень такого уравнения называется целым алгебраическим числом; если нет этого второго условия, то мы имеем дробное алгебраическое число.

2. Как понять это математическое определение, которое, как вся математика, блещет чрезвычайно резким формализмом, не позволяющим философской мысли даже пошевельнуться? Если данное число удовлетворяет тому или иному уравнению, то что это значит? Что такое прежде всего само уравнение? Оно говорит нам о ряде действий, которые необходимо произвести над каким–нибудь числом, чтобы получить другое число. Какие же это действия? Уравнение показывает, что это прежде всего обычные четыре «арифметические» действия, а затем т. н. алгебраические действия, т. е. возведение в степень и извлечение корня (в которых, конечно, нет ничего алгебраического и которые относятся все к той же арифметике). Другими словами, левая часть уравнения есть попросту определенная арифметико–алгебраическая функция корней уравнения. Эта функция, оказывается, равняется целому (или, что то же, рациональному) числу. Другими словами, какие бы арифметико–алгебраические операции мы ни производили над целым числом, т. е. какую бы алгебраическую функцию ни брали от этого числа, мы можем прийти только к целому числу. Алгебраическое число есть такое число, любая алгебраическая функция которого есть целое число. Произведя любое из шести арифметико–алгебраических действий над данным числом, мы всегда можем получить целое число. Если даже мы имеем иррациональное число, мы всегда можем составить такое уравнение, т. е. произвести ряд таких действий над этой иррациональностью, чтобы прийти от этой иррациональности к целому числу.

Но что же это значит? Это и значит, что в данном случае мы рассматриваем число не само по себе, но как потенцию возможных действий над ним, как потенцию всех его инобытийных судеб. По данному числу, если оно алгебраическое, мы уже сразу видим, что над ним можно производить любые арифметико–алгебраические действия и оно не выйдет за пределы своей общей арифметико–алгебраической категории. Реально вовсе и не обязательно производить над ним эти действия, и потому в нем—только потенция его инобытийных судеб. Но эта потенция здесь вполне определенная; это потенция рациональности или даже целости. Всякое алгебраическое число, включая иррациональность, является потенциально целым числом. Если мы имели бы какой–нибудь √3, то стоит эту иррациональность возвысить в квадрат, как мы получаем самое обыкновенное целое число «3». Таким образом, даже иррациональность, если она—алгебраическая (а ниже мы увидим, что существуют и не алгебраические иррациональности), потенциально есть не что иное, как целое число. Правда, из всякого целого числа при помощи тех или иных арифметикоалгебраических операций можно, наоборот, получить иррациональные числа. Но тогда нужно сказать, что целость, рациональность и иррациональность представляют собою некую единую область, смысловая печать которой лежит на каждом числе, входящем в эту область. Каждое число несет с собою потенцию этой общеалгебраической области; и оно не может выйти за пределы той судьбы, которая уготована ему в этой области.

3. а) Зададим себе вопрос: в чем же заключается это единство всей алгебраической области? Каков принцип этой «алгебраичности»? Заметим, что при таком широком понимании алгебраичности сюда войдут и все операции над комплексными числами, потому что операция — 1 входит в общеалгебраические операции решительно на тех же самых общих основаниях. Правда, тут не будет фиксироваться спецификум самого этого математического феномена i или a+bi, но все действия над i войдут в алгебру, очевидно, на общем основании, т. е. в смысле обычных же арифметико–алгебраических действий. Итак, в чем заключается принцип самой алгебраичности в этом контексте? Можно даже попросту сказать: все типы числа, которые мы до сих пор рассматривали, включая нуль и бесконечность, тоже, очевидно, входят в эту алгебраическую область. Все они есть теперь для нас нечто общее, что мы называем алгебраическим (хотя все это по существу, как мы знаем, есть чистейшая арифметика). В чем же принцип этой «алгебраичности»?

b) Этот принцип, вообще говоря, есть принцип сводимости числа на то или иное число натурального ряда, на то или иное целое число. Но в чем заключается эта сводимость? Она заключается в применении тех или других из шести арифметико–алгебраических действий. В чем же общцй принцип этих действий? Ниже, в специальном отделе, мы подвергнем эти действия подробному анализу. Сейчас же нам важно только то одно фундаментальное обстоятельство, что всякая операция выводит данное число из его уединения, приобщает его к тому или иному инобытию, и что арифметические операции различаются между собою только законом приобщения числа к этому инобытию. Мы увидим (§ 116), что, если это приобщение происходит по типу самотождественного различия, мы получаем сложение и вычитание; если по типу подвижного покоя, то получаются умножение и деление; и, наконец, если по типу бытия–небытия (т. е. по типу алогического или органического становления), то получаем возведение в степень и извлечение корня. Всем этим операциям обще то, что они берут к данному числу его инобытие не во всяком смысле, но инобытие как таковое, инобытие как принцип, неразвернутое инобытие, только самый факт инобытия, не входя во внутреннюю жизнь этого инобытия и не приобщая этой внутренней развернутости инобытия числа к самому числу. Что такое сложение и вычитание? Сложение и вычитание сопоставляет данное число с другими числами, т. е. с фактом существования других чисел, а затем категория самотождественного различия, примененная ко всему ряду этих сопоставленных чисел, и приводит нас от самих этих чисел к их сумме или разности. Что такое умножение и деление? Умножение й деление сопоставляет перед нами несколько чисел, т. е. указывает на факт существования таких–то чисел, а потом категория подвижного покоя, примененная к этому ряду чисел, заставляет последовательно одно число переноситься в сферу другого числа и воспроизводиться в нем, и мы получаем произведение или частное. Точно так же и в остальных двух действиях алогическое становление (совокупное функционирование бытия и небытия) заставляет одно число повториться целиком в каждой своей части и тем самым превращает два инобытийно противостоящих числа (напр., основание и показатель степени) в органически спаянную целостность, где одно число повторило себя самого по закону другого числа.