Несмотря на то что вся эта литература не очень обширна, дать логический анализ всех этих учений можно только в большом специальном исследовании. Мы извлечем отсюда только наиболее принципиальные установки, чтобы вышеизложенная философия трансцедентного числа не повисла, в математическом смысле, в воздухе. А именно, 1) мы рассмотрим признак Лиувилля для трансцедентности числа. Затем 2) мы дадим характеристику главнейших представителей этого числа, т. е. Неперова числа е и числа π. При этом 3) придется коснуться и некоторых трансцедентных функций (к которым относятся прежде всего показательная, логарифмическая и тригонометрические), хотя специальному обследованию они должны быть подвергнуты, конечно, не в арифметике. Наконец, 4) огромный логический интерес представляет проблема взаимоотношения общетрансцедентальных, алгебраических (в частности, комплексных) и тригонометрических функций и чисел.

2. а) Итак, остановимся прежде всего на достаточном признаке трансцедентности числа по Лиувиллю. В указанных работах этот математик исходит для разыскания такого признака из абсолютной величины отклонения трансцедентного числа от рациональной дроби,

которая его приближенно выражает. Если алгебраическое число χ определяется неприводимым уравнением w–й степени, то для достаточно большого q мы имеем

x — ≥

где А > 0 и не зависит от q. Это условие, очевидно, неоОходимо для того, чтобы число χ было алгебраическим. Оно, конечно, не есть еще достаточное условие. Но тогда отсюда можно получить условие для трансцедентности числа, которое будет, наоборот, достаточным, но не необходимым. Если, какое бы ни было η, мы имеем, при достаточно большом q, что

x — <

то χ уже не сможет быть алгебраическим числом. Оно будет трансцедентным. На основании этого неравенства можно так формулировать достаточный признак трансцедентности числа ω:

Я утверждаю, что эта формула есть не что иное, как точный математический дублет к развитому выше учению о трансцедентном и об его эманациях в инобытие (§ 110, п. 2—3).

b) В самом деле, что мы тут имеем? Мы тут имеем 1) отношение двух целых чисел т. е. некое p взято в своем соотношении со своим инобытием q. 2) Это q тут не остается стабильным; оно меняется, получая последовательный ряд все новых и новых значений, т. е., другими словами, раз взятое инобытие переходит в свое собственное инобытие и изучаемое отношение становится развернуто–инобытийным. 3) Далее, это соотношение должно быть прибавлено к тому числу, которое претерпевает все эти соотношения. Так оно и будет, когда мы развернем трансцедентное число в ряд. Но тут нас интересует позиция, обрисованная в предыдущем параграфе, п.[892] 3, т. е. мы только ищем эту трансцедентную ω, уже содержащую в себе данное соотношение. И поэтому, согласно указанной позиции, мы вычитаем это соотношение из ω и получаем ω —

4) Однако, чтобы определить ω согласно этой позиции, мы должны посмотреть, каково отношение этого трансцедентного «остатка» к инобытию, которое из него эманировало. Поскольку ρ мы соотносили с q и поскольку q у нас менялось, мы теперь должны сказать, что если из ω эманировала действительно бесконечность, то q должно у нас получить в конце концов значение бесконечности; q должно стремиться к бесконечности. Только тогда будет на самом деле изображать собою соотнесенность с бесконечностью.

5) При этом мы должны оба числа изучаемого соотношения, т. е. и трансцедентный «остаток», и инобытийную бесконечность, представить не иначе как в атмосфере эманации. «Остаток» должен трактоваться как результат эманации, и инобытийная бесконечность должна трактоваться как результат эманации. Позже, в анализе Неперова числа е, мы увидим, что е, основание натуральных логарифмов, является самым основным и примитивным трансцедентным числом, так как оно говорит о соотнесенности с инобытием не чего другого, как самой обыкновенной единицы, так что, если угодно, е может считаться своего рода трансцедентной единицей, или первообразом трансцедентности вообще. Поэтому, если мы покажем, как данное число, конечное или бесконечное, появилось из е, то этим самым мы обрисуем данное число именно как результат эманации трансцедентного. Но всякое данное число может быть получено из е путем возведения его в ту или иную степень, т. е. свидетелем происхождения данного числа из трансцедентной эманации может явиться только его натуральный логарифм.

Но проводимая здесь позиция для разыскания трансцедентного числа 6) должна привести к тому, что между этими двумя бесконечностями, трансцедентным «остатком» и инобытийной бесконечностью, в свою очередь должна залегать бесконечность, так что, только подвергаясь бесконечному умалению или росту, эти две бесконечности могут встретиться. А 7) если, кроме того, инобытийная бесконечность есть отрицательная, то отношение между натуральными логарифмами трансцедентного «остатка» и самой инобытийной бесконечности, отношение, взятое в пределе (поскольку инобытие только еще растет в бесконечность), это отношение и есть не что иное, как отрицательная бесконечность.

Все это с математической точностью зафиксировано в указанном выше достаточном признаке трансцедентности по Лиувиллю.