Мы не станем входить в анализ этих дисциплин, а только ради образца коснемся кватернионов, входящих в первую из них, в линейную алгебру.

4. а) Как показывает самое название, в кватернионе мы имеем дело с четырьмя единицами. Первой единицей здесь является вещественная единица, как и в обыкновенных комплексных числах. Три остальные единицы—Мнимые с теми или иными коэффициентами; по Гамильтону, они обозначаются как / и к, и весь кватернион имеет такой вид:

q = d+ia+jb + kc.

Вещественная единица и операции с нею ничем не отличаются от обычных вещественных правил, так что

12 = 1, i*1=1*i=i, j*1=1*j=j, k*1=1*k=k

Что же касается мнимых единиц, то здесь сходно с обычными комплексными числами только общее их определение, т. е.

i2=j2=k2=-1

В этом смысле все, что в § 107 говорилось о мнимости как о квадратном корне из отрицательной единицы, остается и для кватернионов в прежней силе. Далее, однако, этим мнимым единицам принадлежит фундаментальное свойство, резко отличающее их от всяких других единиц.

b) А именно, этим единицам не свойственна коммутативность умножения или, точнее, с переменой порядка сомножителей произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

j*k=i, k*i=j, i*j=k

но при этом

k*j=-i, i*k=-j, j*i=k

Если не принимать интуиций, лежащих в основе кватернионов, то это свойство его мнимых единиц является вполне бессмысленным или по крайней мере необоснованным. В чем же, однако, тут дело? Дело в том, что мнимые единицы i, j, k: противоположны друг другу не в области одного измерения (тогда, если i предполагает только плоскость, j и к тоже оказались бы на плоскости и отождествились бы с О» но они противоположны друг другу как разные пространственные измерения. Количественно будучи одним и тем же, они еще выполняют некую «качественную» функцию, а именно они демонстрируют разные измерения. Поэтому кватернионы есть не что иное, как аналитическое выражение четырехмерного пространства. Подобно тому как обыкновенное комплексное число есть число плоскостное, т. е. двухмерное (ибо оно соотносит с точками данной вещественной прямой те или иные точки плоскости), подобно этому кватернион есть число (а следовательно, и пространство) четырехмерное (соотнося с данной вещественной прямой точки четырехмерного пространства). Отсюда выясняется и смысл некоммутативности умножения мнимых единиц кватерниона.

А именно, поскольку каждая единица связана здесь с новым измерением, она есть также символ известного направления. Направление же, комбинации направлений, естественно, зависят от самих направлений. В сложении направлений дело обстоит просто. Если А, В и С—точки, лежащие не на одной прямой, то вместо того, чтобы идти от А к В9 а потом от В к С, я могу прямо идти от А к С и в смысле векторном АС=АВ+ВС. Иначе, однако, обстоит дело в умножении. Ведь что такое умножение? Умножение есть составление из множимого нового числа так, как множитель составлен из единицы. Ясно, что произведение тут определенно зависит от того, что считать множимым, а что множителем. Допустим, напр., что множимое положительно. Составляя из него новое число, мы, конечно, так же должны считаться с этим плюсом, как если бы и вообще помножали какое–нибудь положительное (а не отрицательное) число. Поэтому уже в умножении векторов на плоскости мы, вообще говоря, считаемся с порядком действующих тут сомножителей. То же самое и в кватернионах.