В этом смысле все, что в § 107 говорилось о мнимости как о квадратном корне из отрицательной единицы, остается и для кватернионов в прежней силе. Далее, однако, этим мнимым единицам принадлежит фундаментальное свойство, резко отличающее их от всяких других единиц.

b) А именно, этим единицам не свойственна коммутативность умножения или, точнее, с переменой порядка сомножителей произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

j*k=i, k*i=j, i*j=k

но при этом

k*j=-i, i*k=-j, j*i=k

Если не принимать интуиций, лежащих в основе кватернионов, то это свойство его мнимых единиц является вполне бессмысленным или по крайней мере необоснованным. В чем же, однако, тут дело? Дело в том, что мнимые единицы i, j, k: противоположны друг другу не в области одного измерения (тогда, если i предполагает только плоскость, j и к тоже оказались бы на плоскости и отождествились бы с О» но они противоположны друг другу как разные пространственные измерения. Количественно будучи одним и тем же, они еще выполняют некую «качественную» функцию, а именно они демонстрируют разные измерения. Поэтому кватернионы есть не что иное, как аналитическое выражение четырехмерного пространства. Подобно тому как обыкновенное комплексное число есть число плоскостное, т. е. двухмерное (ибо оно соотносит с точками данной вещественной прямой те или иные точки плоскости), подобно этому кватернион есть число (а следовательно, и пространство) четырехмерное (соотнося с данной вещественной прямой точки четырехмерного пространства). Отсюда выясняется и смысл некоммутативности умножения мнимых единиц кватерниона.

А именно, поскольку каждая единица связана здесь с новым измерением, она есть также символ известного направления. Направление же, комбинации направлений, естественно, зависят от самих направлений. В сложении направлений дело обстоит просто. Если А, В и С—точки, лежащие не на одной прямой, то вместо того, чтобы идти от А к В9 а потом от В к С, я могу прямо идти от А к С и в смысле векторном АС=АВ+ВС. Иначе, однако, обстоит дело в умножении. Ведь что такое умножение? Умножение есть составление из множимого нового числа так, как множитель составлен из единицы. Ясно, что произведение тут определенно зависит от того, что считать множимым, а что множителем. Допустим, напр., что множимое положительно. Составляя из него новое число, мы, конечно, так же должны считаться с этим плюсом, как если бы и вообще помножали какое–нибудь положительное (а не отрицательное) число. Поэтому уже в умножении векторов на плоскости мы, вообще говоря, считаемся с порядком действующих тут сомножителей. То же самое и в кватернионах.

Немного позже мы сформулируем смысл некоммутативности умножения кватернионов еще более конкретно.

§ 113а. Гиперкомплексное число (интерпретация).

1. Прежде чем, однако, идти дальше, задумаемся, какой философский смысл можно было бы вкладывать в четырехмерное пространство и почему целесообразно брать комбинацию именно четырех единиц, а не больше и не меньше. В § <…) мы уже столкнулись с этим вопросом. И сейчас необходимо это понимать яснейшим образом.

а) Четырехмерное пространство является первым полным пространством с точки зрения диалектики. Считая точку за геометрический перво–принцип (поскольку она не имеет ни одного измерения и потому выше всякого оформления), мы обязаны за бытие, т. е. за первую расчлененную положенность и утвержденность, считать, очевидно, линию. Вполне естественно также в поисках инобытия линии переходить в другое измерение, т. е. в плоскость, что определенным образом погружает нас в некое становление (в отношении линии). Но ведь становление где–то останавливается и, переходя в ставшее, в дальнейшем уже перестает быть все новым и новым становлением, но вместо этого встречается с самим собою. Так и плоскость должна встретиться с плоскостью, т. е. с другой плоскостью, т. е. мы должны перейти в пространство, в третье измерение. Очевидно, полное диалектическое оформление наступает только вместе с выразительной формой, т. е. когда ставшее смысловым образом вмещает в себя и все свое инобытие, т. е. когда в нем, в его образной структуре, проявились его всевозможные инобытийные дифференции. Следовательно, на трехмерном пространстве должны быть запечатлены следы его инобытийного существования. Проще всего это инобытие там, где оно не задевает самой субстанции пространства, а лишь говорит о процессах, совершающихся внутри одной и той же, неизменяемой субстанции и структуры пространства. Так, напр., если бы мы составили вещественный кватернион, в котором первые три единицы указывали бы на три измерения пространства, а четвертая на массу или температуру или потенциальную энергию, то весь кватернион говорил бы нам о том или ином заполнении пространства, т. е. о том или ином распределении в нем массы, или температуры, или энергии; и наше означенное пространство оказалось бы выраженным, так как здесь оно вместило бы в себя свое инобытие. Но ясно, что это инобытие есть инобытие не самого пространства, т. е. не его последней субстанции, но только его смысла, его смыслового содержания, при нетронутости самого принципа пространства. Понимание кватерниона как отношения двух векторов трехмерного пространства проводил еще в 30–х годах итальянский геометр Беллавитис [908].

Настоящая выраженность пространства, а следовательно, и первое полное его диалектическое оформление, наступает только тогда, когда оно вместит в себя свое инобытие в субстанциальном смысле, т. е. когда в нем будет выражено его инобытие, меняющее самый принцип его, самую его субстанцию. Тогда на трехмерное пространство мы должны смотреть такими же глазами, какими смотрим на двухмерное с точки зрения трехмерного и на одномерное—с точки зрения двухмерного, т. е. тогда мы должны постулировать некое четырехмерное пространство, и оно–то и будет подлинной (первой, по крайней мере полной) выразительностью пространства и, следовательно, первым полным его диалектическим оформлением.

b) Здесь, однако, необходимо устранить одно недоразумение, которое обычно вносит путаницу в проблему четырехмерного пространства и которое как раз особенно вредно для понимания кватернионов. Вовсе не обязательно мыслить четырехмерное пространство как некую особую метафизическую действительность, не имеющую ничего общего с обычным четырехмерным пространством. Хотя признание трехмерного пространства ничуть не более основательно, чем признание пространства любого числа измерений, все же в трехмерном пространстве (недаром для диалектики оно есть «ставшее», «наличное бытие») мы имеем нечто как бы в подлинном смысле «действительное», «фактическое», «эмпирическое». Но тут мы прямо должны сказать, что чистого трехмерного пространства вообще не существует, если уж на самом деле гнаться за «фактическим» и «эмпирическим». Фактическое и эмпирическое пространство никогда не трехмерно, ни в своем смысловом наполнении, ни в своем субстанциальном принципе. Что оно всегда чем–то наполнено, это понимают все. Если не понятно, как можно считать заполненным «чистое», пустое пространство, то я бы предложил здесь простейший аргумент. Если Москву и Киев считать математическими точками пустого пространства и если между Москвой и Киевом действительно «пустота», т. е. ничего нет, то почему я, живя в Москве, не нахожусь в это же время в Киеве? Если меня что–нибудь отделяет от Киева, то это есть именно что–нибудь, а не ричгпо, и если это-—пустота, то эта пустота есть фактически такая сила, преодолеть которую можно только при помощи затраты огромных усилий. Итак, пространство всегда так или иначе заполнено, оно всегда так или иначе некое поле сил, и уже по одному этому оно не просто трехмерно.

Однако оно не просто трехмерно и в другом смысле, в смысле вмещения своего субстанциального инобытия. Оно имеет ту или иную кривизну, и только Эвклидова геометрия приравнивает эту кривизну нулю, будучи, следовательно, как раз абстрактной, а не живой теорией живого пространства.