d) Разумеется, соответствующее изменение получает и направление. На плоскости мы уже имеем определенный угол, на который повернулся наш отрезок. Полученное таким способом направление меняется в свою очередь при воздействии новой мнимой единицы, а эта трехмерная направленность усложняется еще дальше, когда заходит речь о третьей единице. Кватернион, таким образом, уже взятый сам по себе, гласит о тройном процессе растяжениями тройном процессе поворота данного вещественного отрезка прямой, причем поскольку он есть комбинация четырех разнонаправленных единиц, то и другое мыслится еще переносимым из одной области в другую (из одной системы координат в другую). Кватернион, таким образом, есть просто отрезок в четырехмерном пространстве, который вещественно явлен как определенная система растяжений и поворотов.

3. а) Особенно просто и рельефно это можно видеть на умножении кватернионов. Если сумма двух кватернионов не представляет собою ничего особенного, кроме обычного для комплексных чисел раздельного сложения вещественных и мнимых частей

q+q'={d+d')+i(a+a')+j(b+b')+k{c+c'),

то умножение кватернионов весьма интересно, хотя и аналогия его с векторным умножением вообще вполне очевидна. Так как векторное умножение обыкновенных комплексных чисел значительно проще, то вспомним сначала его.

ОМ и ON—два вектора, соответствующие двум разным комплексным числам. Требуется их перемножить. Так как умножить—значит повторить множимое столько раз, сколько единиц во множителе, то отложим на линии χ вектор Οβ, равный единице, и построим на линии ON треугольник OPN, подобный треугольнику OMQ. Тогда ОР будет как раз составлено из ОМ так, как ОМ составлено из OQ= 1. Или— ОР:ОМ=ОМ: 1, откуда

О Ρ=rr'; L POQ = L PON+ L NOQ,

что при LΜΟQ = φ и LMOQ = φ' и, ввиду подобия указанных треугольников, при LPON= LMOQ = φ дает

LPOQ = φ + φ' .

Другими словами: чтобы умножить одно комплексное число на другое, надо модули их перемножить, а аргументы сложить. Или: при умножении одного вектора на другой его абсолютная величина растягивается во столько раз, сколько единиц в абсолютной величине другого вектора, а сам он вращается в положительном направлении на тот угол, который характеризовал направление этого другого вектора. Умножение комплексных чисел, следовательно, есть соединение растяжения с поворотом.

b) Точно то же самое мы находим и в кватернионах. Нетрудно представить себе усложнение этого поворотного растяжения для случая трехмерного пространства, а затем и для четырехмерного пространства. Аналогично поведению модулей в комплексном умножении можно утверждать, что тензор произведения двух кватернионов равняется произведению их тензоров (это легко доказывается путем введения сопряженных кватернионов). А отсюда, припоминая из аналитической геометрии выражение для расстояния точки от начала координат равного √х2 +у2+z2 + w2, мы можем сказать, что уравнение в кватернионах q'=p q представляет собою не что иное, как определенное линейное преобразование точек х, у, z, w четырехмерного пространства в точки χ' y' z' w' дающее в результате вместо одного вектора другой и умножающее указанное выражение для расстояния точки от начала координат на один и тот же постоянный множитель τ=√a2+b2+c2+d2. Тензор, таким образом, вполне характеризует растяжение отрезка, вступающего в четырехмерное пространство. Кроме того, из аналитической геометрии известно, что линейное преобразование х, у, ζ, при котором x2+y2+z2 является инвариантом расстояния от начала 0, есть не что иное, как вращение или зеркальное отражение. Не иначе, следовательно, и в четырехмерном пространстве, где таким инвариантом будет х2 +у2+z2 + w2. Стало быть, когда линейное преобразование помножает x2+y2+z2+w2 на некоторый множитель τ2, то мы и получаем вращение вместе с растяжением всего пространства до τ–кратных размеров.

Если мы станем изучать результат нескольких вращений, то уже чисто зрительно будет заметно, какое значение имеет последовательность вращений. В зависимости от разного порядка вращений будет, вообще говоря, получаться и разное «тело вращения». Но сложение вращений, как мы сейчас видели, эквивалентно умножению кватернионов. Отсюда становится понятной и столь характерная для кватернионов некоммутативность умножения. Она, видим мы теперь есть не что иное, как зависимость суммы сложения вращений от порядка слагаемых. И, таким образом, отвлеченный аналитический признак кватерниона получает тут вполне понятное и убедительное истолкование.

4. Значение кватернионов получит для нас еще большее значение, если я укажу на ближайшую связь их с популярной ныне теорией относительности. Хотя Минковский исходил в своих рассуждениях о поворотном растяжении четырехмерного пространства совсем из другой терминологии (именно из матриц Кэли), Ф. Клейн[909] простейшим образом показал, что знаменитые «Лоренцовы преобразования», лежащие в основе теории относительности, есть не что иное, как вращение некоторого пространства, изобразимое притом весьма удобно при помощи кватернионов.

Хотя было бы й неуместно пускаться здесь в эти выкладки, все же привлечение их для теории кватернионов значительно обогащает наше представление о гиперкомплексном числе, и можно только рекомендовать усвоить эти в общем простейшие выкладки у Клейна всякому желающему усвоить себе философию гиперкомплексного числа вообще.

5. а) В заключение мы затронем один вопрос, который, возможно, уже возник у внимательного читателя, в особенности если он усвоил нашу первоначальную дедукцию гиперкомплексного числа (§ 113). Мы утверждаем, что гиперкомплексное число есть наивысшая форма арифметического числа, диалектически включившая в себя и претворившая в себе и алгебраическое, и трансцедентное число. Вместе с тем гиперкомплексное число есть энергийно–эманативное выражение вообще арифметического числа. Возникает вопрос: откуда же видно, что гиперкомплексное число есть энергийно–