LPOQ = φ + φ' .

Другими словами: чтобы умножить одно комплексное число на другое, надо модули их перемножить, а аргументы сложить. Или: при умножении одного вектора на другой его абсолютная величина растягивается во столько раз, сколько единиц в абсолютной величине другого вектора, а сам он вращается в положительном направлении на тот угол, который характеризовал направление этого другого вектора. Умножение комплексных чисел, следовательно, есть соединение растяжения с поворотом.

b) Точно то же самое мы находим и в кватернионах. Нетрудно представить себе усложнение этого поворотного растяжения для случая трехмерного пространства, а затем и для четырехмерного пространства. Аналогично поведению модулей в комплексном умножении можно утверждать, что тензор произведения двух кватернионов равняется произведению их тензоров (это легко доказывается путем введения сопряженных кватернионов). А отсюда, припоминая из аналитической геометрии выражение для расстояния точки от начала координат равного √х2 +у2+z2 + w2, мы можем сказать, что уравнение в кватернионах q'=p q представляет собою не что иное, как определенное линейное преобразование точек х, у, z, w четырехмерного пространства в точки χ' y' z' w' дающее в результате вместо одного вектора другой и умножающее указанное выражение для расстояния точки от начала координат на один и тот же постоянный множитель τ=√a2+b2+c2+d2. Тензор, таким образом, вполне характеризует растяжение отрезка, вступающего в четырехмерное пространство. Кроме того, из аналитической геометрии известно, что линейное преобразование х, у, ζ, при котором x2+y2+z2 является инвариантом расстояния от начала 0, есть не что иное, как вращение или зеркальное отражение. Не иначе, следовательно, и в четырехмерном пространстве, где таким инвариантом будет х2 +у2+z2 + w2. Стало быть, когда линейное преобразование помножает x2+y2+z2+w2 на некоторый множитель τ2, то мы и получаем вращение вместе с растяжением всего пространства до τ–кратных размеров.

Если мы станем изучать результат нескольких вращений, то уже чисто зрительно будет заметно, какое значение имеет последовательность вращений. В зависимости от разного порядка вращений будет, вообще говоря, получаться и разное «тело вращения». Но сложение вращений, как мы сейчас видели, эквивалентно умножению кватернионов. Отсюда становится понятной и столь характерная для кватернионов некоммутативность умножения. Она, видим мы теперь есть не что иное, как зависимость суммы сложения вращений от порядка слагаемых. И, таким образом, отвлеченный аналитический признак кватерниона получает тут вполне понятное и убедительное истолкование.

4. Значение кватернионов получит для нас еще большее значение, если я укажу на ближайшую связь их с популярной ныне теорией относительности. Хотя Минковский исходил в своих рассуждениях о поворотном растяжении четырехмерного пространства совсем из другой терминологии (именно из матриц Кэли), Ф. Клейн[909] простейшим образом показал, что знаменитые «Лоренцовы преобразования», лежащие в основе теории относительности, есть не что иное, как вращение некоторого пространства, изобразимое притом весьма удобно при помощи кватернионов.

Хотя было бы й неуместно пускаться здесь в эти выкладки, все же привлечение их для теории кватернионов значительно обогащает наше представление о гиперкомплексном числе, и можно только рекомендовать усвоить эти в общем простейшие выкладки у Клейна всякому желающему усвоить себе философию гиперкомплексного числа вообще.

5. а) В заключение мы затронем один вопрос, который, возможно, уже возник у внимательного читателя, в особенности если он усвоил нашу первоначальную дедукцию гиперкомплексного числа (§ 113). Мы утверждаем, что гиперкомплексное число есть наивысшая форма арифметического числа, диалектически включившая в себя и претворившая в себе и алгебраическое, и трансцедентное число. Вместе с тем гиперкомплексное число есть энергийно–эманативное выражение вообще арифметического числа. Возникает вопрос: откуда же видно, что гиперкомплексное число есть энергийно–

Потом, чтобы завершить диалектику числа, мы перешли к четырехмерному комплексному числу, назвавши его гиперкомплексным числом, но мы ничего не сказали о том, какая же остается тут связь с трансцедентностью. Ведь если говорить о четырехмерном комплексном числе как о таковом, без всякой связи с трансцедентностью, то ведь его мы свободно могли бы вывести значительно раньше, не входя ни в какие учения о числах алгебраических и трансцедентных, т. е. непосредственно после учения о мнимых числах § 107. Это было бы и естественно: сначала говорить о двухмерных комплексах, потом э трехмерных, четырехмерных и т. д. Следовательно, если гиперкомпггексные числа у нас появились после трансцедентных, то должно быть установлено четкое отношение категории гиперкомплексов к трансцедентности.

b) Однако в этом вопросе я как раз не чувствую себя уверенно и не могу предложить читателю четкой и совершенно ясной мне математической концепции. Дедуцируя данную выше категррию гиперкомплексного числа, я в значительной мере шел по пути, который указывался мне интуицией, и совершенно не имел точных математических аналогов. Все же у меня есть некоторое предположение о связи гиперкомплексов с трансцедентными [числами], и, хотя я не настолько силен в математике, чтобы его доказать, я все же предлагаю его на обсуждение.

Д. Д. Мордухай–Болтовский в указанной выше работе [910] о трансцедентных числах из общей области трансцедентности выделяет трансцедентные числа, которые он называет собственно трансцедентными. Замечая, говорит он, что е можно определить как уx=1 если у'=у, причем Ух=0 = 1, что Iga, где а есть алгебраическое число, можно представить как Ух=о, если ху' = 1, причем ух–1 = О, и т. д. и т. д., — мы можемсчитать, что трансцедентные числа вообще подходят под форму N=ya=c, где с рационально, а у определяется условием ƒ(х:, у, у', …, y(n))=0, причем ƒ есть полином с рациональными, или, что то же, с целыми, коэффициентами от (х, у, у', y(n)). Такого рода трансцедентные числа являются собственно трансцедентными, прочие же—гипертрансцедентными.

Тут вспоминается «определение» алгебраического числа: оно является корнем уравнения с целыми коэффициентами. Собственно трансцедентное число есть такое, которое может быть корнем дифференциального уравнения с целыми коэффициентами. Значит, гипертрансцедентное число—это такое, которое не может быть корнем дифференциального уравнения с целыми коэффициентами.

c) Едва ли математики понимают философское значение связи трансцедентности с корнем дифференциального уравнения. Если вспомнить наше учение о трансцедентной иррациональности в ее отличии от алгебраической (§ 110), то мы утверждали, что эта последняя оказывается одномерной, она есть простейшая и, так сказать, одноплановая иррациональность, математически определяемая только простым извлечением корня. Трансцедентная иррациональность—это многомерная, и прежде всего двухмерная, иррациональность. Мы показали на основании признака Лиувилля (§ 111), что трансцедентное число предполагает переплетение двух разных иррациональностей, так как логически мы имеем здесь становление становления. Отсюда и эманационный характер трансцедентности. Это переплетение двух разных иррациональностей привело нас к двухмерной комплексной области. Ведь измерение в пространстве, как мы тоже не раз доказывали (§ 55, 71), есть не что иное, как переход в новое инобытие, т. е. в новую иррациональность (такова плоскость в отношении линии, пространство в отношении плоскости, пространство (n+1) — го измерения в отношении пространства η измерений). Не связана ли эта переплетенность двух иррациональностей в трансцедентном с двухмерно–комплексным ее толкованием и вообще с двухмерно–пространственным или векторным ее толкованием?

Если так, то тогда понятно, почему трансцедентное число, не являясь корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, является тем не менее корнем дифференциального уравнения. Ведь последнее, содержа в себе производные, тем самым содержит помимо той простой иррациональности, которая возможна в алгебраической области, еще и другую, особую иррациональность, ту, которую мы получаем в результате дифференцирования, или, вернее, ту, благодаря которой возможен переход от функции к ее инобытию, а затем и к закону инобытийных соотношений между функцией и аргументом, т. е. к производной. Так или иначе, но дифференциальное уравнение обеспечивает двухмерную иррациональность, которой не хватает в алгебраическом уравнении.

d) Но если так, то тогда я спрашиваю себя: а если мне нужна трехмерная или четырехмерная иррациональность, то не значит ли это, что мое трансцедентное число отказывается быть корнем дифференциального уравнения? Другими словами, числа гипертрансцедентное не эквивалентно ли числу гиперкомплексному, подобно тому как вещественная степень трансцедентности эквивалентна спирали, а мнимая ее степень— обыкновенному комплексному, числу (и получаемой таким образом окружности)? Если это так, то тогда в нашем гиперкомплексном числе мы и получим дошедшую до последней диалектической зрелости и выраженности эманацию трансцедентного, которая зарождается в Эйлеровых тригонометрических выражениях мнимых степеней Неперова числа.